Dreizehntes Kapitel.

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allgemeinen Gleichung für die Tangente erhält man leicht die fürdie Normale, und man verändert um eine unendlich kleine Grössedie Coordinaten des Berührungspunktes, um zu der unendlichnahen Normalen zu gelangen. Die gemeinsame Lösung für diesebeiden Gleichungen, welche vom ersten Grade sind, rücksichtlichder beiden Coordinaten des Durchschneidungspunktes, genügt, umdie beiden allgemeinen Formeln zu erlangen, welche die Coordi-naten für den Mittelpunkt der Krümmung einer Curve bei jedembeliebigen Punkte ausdrticken. Die Ermittelung des Halbmessersder Krümmung besteht dann in Berechnung des Abstandes desMittelpunktes der Krümmung von dem betreffenden Punkt derCurve. Die Kenntniss dieses Halbmessers erleichtert die Kenntnissder Curve und ist dadurch bemerkenswert!!, dass sie sich auf dieGestalt der Curve bezieht, ohne von deren Lage abhängig zu sein.

Diese Lehre führt zu dem Begriff der entwickelten Curven;sie ergeben die geometrischen Orte der Krümmungsmittelpunkteder Curven in ihren verschiedenen Punkten. Huyghens hatte denBegriff des küssenden Kreises aus dem der entwickelten Curve ab-geleitet, indem diese so aufgefasst wird, als wenn durch ihre Ent-wickelung die ursprüngliche oder die entwickelnde Curve her-beigeführt werde. Diese beiden Auffassungsweisen fallen in einezusammen. Die entwickelte Curve hat allgemein zwei Eigen-schaften; die eine besteht darin, dass die Normalen der Curve, vonder sie abgeleitet ist, ihre Tangenten sind; die zweite besteht da-nn, dass die Länge ihrer Bogen gleich ist mit der Länge der Ra-then der entsprechenden Krümmung der entwickelten Curve. Um'he entwickelte Curve einer gegebenen Curve zu erlangen, mussßian zwischen den beiden Formeln, welche die Coordinaten desMittelpunktes der Curve ausdriicken, die Coordinaten des dazu ge-hörigen Punktes der Curve mit Hülfe der Gleichung der Curvee hminiren; die daraus sich ergebende Gleichung ist die Gleichungher entwickelten Curve. Man könnte ebenso die umgekehrteAufgabe lösen; indess erfordert sie die Integrirang einer Differen-zialgleichung zweiter Ordnung. Diese Aufgaben gleichen den ein-fachen Aufgaben, welche bei dem Ursprung der transcendentenRechnung mit dem Namen der umgekehrten Methode derTangenten bezeichnet worden sind; indem man sich vorsetzte, eine