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Dreizehntes Kapitel.

Curve durch eine gegebene Eigenschaft ihrer Tangente fiir irgendeinen ihrer Punkte zu bestimmen.

Die Geometer haben von ein und derselben ursprünglichenCurve noch verschiedene andere vermittelte Curven abgeleitet,deren Gleichungen man durch ein ähnliches Verfahren erlangt.Die erheblichsten sind die durch Zurückwerfung oder Brechunggegebenen kaustischen Curven. Ihren Begriff verdankt mandem Tschirnaus und ihre Theorie dem Jakob Bernouilli. Essind dies Curven, welche durch die Durchschneidung von leuch-tenden, unendlich nahen Strahlen gebildet werden, von denen mananninxmt, dass sie von der ursprünglichen Curve zurückgeworfenoder gebrochen werden. Die Aufgabe wird durch Einhaltung einesähnlichen Verfahrens gelöst. Wenn man diese Auffassung verall-gemeinert, so kann man sich Curven vorstellen, welche dadurchentstehen, dass gewisse Curven, die einem beliebigen Gesetze unter-liegen, einander unendlich nahe sind und sich durclischneiden.Leibniz ist zuerst auf den Gedanken solcher Untersuchungen ge-kommen; Clairaut und Lagrange haben sie dann erweitert.Diese Curven haben meist irgend welche gewöhnliche Gleichungzur Unterlage und werden von dieser abgeleitet, indem man einerbeliebigen beständigen Grösse verschiedene Werthe zutheilt. Umden geometrischen Ort der Schneidungspunkte zu finden, genügt dieDifferenzirung der Gleichung in Bezug auf die beständige Grösse,und demnächst die Elimination dieser beständigen Grösse zwischenihrer Differenzial- und der ursprünglichen Gleichung. Man erhältso zwischen den beiden veränderlichen Coordinaten eine von dieserbeständigen Grösse unabhängige Gleichung, welche die der ge-suchten Curve ist.

Ich habe bisher die Lehre von den Krümmungen im Geisteder Infinitesimalmethode betrachtet. Die Auffassung von Lagrangehätte sich hier der Darstellung jener angepasst, allein sie hat zuder allgemeinen Lehre der Berührungen geführt, von welcher dieLehre vom küssenden Kreis nur einen einzelnen Fall bildet. Vomphilosophischen Gesichtspunkte aus ist diese Lehre vielleicht derinteressanteste Theil der rechnungsmässigen Geometrie. In dieserLelire wird der Grad der Imiigkeit der Berührung zweier Curvennach der Zahl der Funktionen abgeschätzt, welche der Reihe nach