Dreizehntes Kapitel.

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von ihren Ordinaten abgeleitet werden, die für den in Betrachtgezogenen Punkt den gleichen Werth haben; von da kommendie verschiedenen Ordnungen der Berührungen; nach der ein-fachen Durchschneidung findet der erste Grad der Annäherungzweier Curven statt, wenn die ersten abgeleiteten Curven ihrerOrdinaten gleich sind; dies ist die Berührung der ersten Ord-nung oder die einfache Berührung, welche man lange Zeit alleinkannte. Die Berührung der zweiten Ordnung verlangt dieGleichheit der zweiten abgeleiteten Curven. Die Gleichheit derdritten abgeleiteten Curven ergiebt die Berührung der drittenOrdnung und so weiter, ohne Ende. Ueber die Berührung derersten Ordnung hinaus haben die Berührungen auch den Namender Küsse erster Ordnung, zweiter Ordnung u. s. w.

Bei der Berührung erster Ordnung haben die beiden Curvenfür den gemeinsamen Berührungspunkt dieselbe Tangente; bei derzweiten Ordnung haben beide den nämlichen Krümmungskreis, weildie Tangenten von der ersten abgeleiteten Curve der Ordinate ab-hängen und der Krümmungskreis von den zwei ersten hinterein-ander abgeleiteten Curven abhängt. Die Ordnung, wo die innigsteBerührung einer Curve statt hat, hängt von der Zahl der belie-bigen beständigen Grössen ab, welche in deren allgemeinster Glei-chung enthalten sind. Die gerade Linie, deren Gleichung nur zweibeständige Grössen enthält, kann mit jedweder Curve nur eineBerührung erster Ordnung haben; daraus leitet sich (he Lehre derTangenten ab. Der Kreis, dessen Gleichung drei beständige Grössenenthält, kann mit jedweder Curve eine Berührung zweiter Ordnunghaben; davon stammt, als besonderer Fall, die alte Theorie desküssenden Kreises. Die Parabel, welche vier beständige Grössenenthält, kann eine Berührung dritter Ordnung haben; die Ellipseergiebt eine Berührung vierter Ordnung u. s. w.

Man kann für die direkte Bestimmung der verschiedenen Ord-n ungen der Berührung ein einfaches konkretes Kennzeichen aut-rtellen, was auch klarer ist, als das von Lagrange angegebene.Bie mehr oder weniger grosse Zahl der beliebigen beständigenFrössen, welche in der Gleichung enthalten sind, bezeichnet die^ahl der Punkte, welche für die Bestimmung der Curven nöthigsind, und bezeichnet damit den Grad der innigen Berührung, deren