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Dreizehntes Kapitel.

diese Curve für jede andere Curve fähig ist. Auf der anderenSeite ergiebt das rechnungsmässige Gesetz, welches diese Berührungdurch die Gleichheit einer gleichen Zahl von Curven ausdrückt,die nach einander aus den zwei Ordinaten abgeleitet sind, deutlich,dass die beiden Curven dann ebenso viele unendlich-nahe Punktegemein haben. Man kann sich daher direkt eine Vorstellung derverschiedenen Ordnungen der Berührungen machen, wenn mansagt, dass sie in der Gemeinschaft einer mehr oder weniger grossenZahl von Punkten besteht, die in beiden Curven einander unendlichnahe sind. So würde man z. B. die küssende Ellipse dritter Ord-nung dadurch bestimmen, dass man sie als die Grenze auffasst,gegen welche die durch fünf Punkte der aufgestellten Curve hin-durchgehenden Ellipsen hinstreben, in dem Maasse, als vier dieserals beweglich angenommenen Punkte sich in unendlich-naher Weisedem als fest angenommenen fünften Punkte näherten.

Die Lehre von den Berührungen gestattet, das Maass derKrümmung so genau zu bestimmen, als man will, indem man dieGrenze der Vergleichung nach Belieben ausdehnt. So würde dieAnnäherung jedes unendlich-kleinen Bogens einer Curve an denBogen einer Parabel die Krümmung jenes genauer bezeichnen, alswenn man dazu nur den küssenden Kreis benutzte. Die Verglei-chung mit der Ellipse würde eine noch grössere Genauigkeit ge-währen. Da man indess schwerlich eine genaue und geläufigeKenntniss der Curve hat, welche als Einheit für die Krümmungangenommen werden könnte, so hat man sich begnügt, alle Curvennur mit dem Kreis zu vergleichen. Lagrange hat sich daraufbeschränkt, aus seiner allgemeinen Lehre nur die des küssendenKreises abzuleiten, die damit von einem rein rechnungsmässigenGesichtspunkte geboten wird.

Ich habe diese Lehre von den Berührungen genauer dargelegt,weil es ein grosser Unterschied ist, ob man die Feststellung desküssenden Kreises als die letzte Grenze der Kraft des menschlichenGeistes bei dem Studium der Curven auffasst, wie dies von La-grange geschah, oder ob man im Gegentlieil darin nur den be-sonderen Fall einer allgemeinen Lehre erkennt.

Ich habe schliesslich noch che Fragen zu bezeichnen, welchesich auf die Geradlegung und die Quadraturen der Curven be-