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Vierzehntes Kapitel.

Mittels der vorstehenden Lehre kann man Punkt für Punktdie Krümmung einer Oberfläche bestimmen. Um das, was sich aufverschiedene Punkte bezieht, zu verbinden, haben die Geometergesucht, die Linien der Krümmung einer Oberfläche zu be-stimmen, nämlich die, welche die Eigenthümlichkeit haben, dassdie der Oberfläche folgenden Normalen hier so aufgefasst werdenkönnen, als wären sie in die nämliche Ebene befasst. In jedemPunkt einer beliebigen Oberfläche sind unter diesen Linien zwei,welche senkrecht gegen einander sind und deren Richtung beiihrem Ursprung mit den Richtungen der beiden normalen Haupt-durchschnitte zusammenfällt. Man findet diese Linien derKrümmung leicht auf den gebräuchlichsten Oberflächen, wie z. B.auf den cylindrischen, den konischen und den rotirenden. Manhat davon andere Untersuchungen abgeleitet, wie die der Obe r-flächen der Krümmung, welche die geometrischen Orte derMittelpunkte der Krümmung der verschiedenen Hauptdurch-schnitte sind.

Zur Vollständigkeit dieser Lehre gehört noch die Angabedessen, was sich auf die Curven mit doppelter Krümmungbezieht. Deren Tangenten können leicht bestimmt werden. Wenndie Curve durch die Gleichungen ihrer Projektionen auf zweicoordinirten Ebenen gegeben ist, so sind die Gleichungen derTangenten auf diesen beiden Projektionen die Gleichung ihrerTangente. Wenn die Definition der Curve in dem System derGleichungen zweier beliebigen Oberflächen besteht, deren Durch-schneidung sie ist, so ist die Tangente der Durchschnitt der beidenEbenen, welche diese beiden Oberflächen berühren.

Die Krümmung dieser Curven führt zu einem neuen Begriff.Da die einander folgenden Elemente nicht mehr in derselbenEbene liegen, so muss man das feststellen, was man in jedem Augen-blick unter der Ebene der Curve zu verstehen hat; sie wird durchdrei einander unendlich nahe Punkte bestimmt und heisst dieküssende Ebene. Hat man die Stellung dieser Ebene einmal er-langt, so geschieht die gewöhnliche Messung der Krümmung mitHülfe des küssenden Kreises. Die zweite Krümmung wird nachdem Winkel gemessen, welchen die beiden einander folgendenküssenden Ebenen mit einander bilden. Man könnte auch ebenso