Vierzehntes Kapitel.

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annelimen, dass diese Krümmung gemessen werde durch den Halb-messer der küssenden Kugel, welche mit ihrer Oberfläche durchvier einander unendlich nahe Punkte der betreffenden Curve hin-durchgehen würde. Man schätzt sie gewöhnlich nach der grösstenKrümmung ab, welche an dem betrachteten Punkt diese zu ent-wickelnde Oberfläche, die der geometrische Ort aller Tangenten fürdie Kurve ist, darbietet.

Ich muss nun zu den Fragen übergehen, welche von der Inte-gralrechnung abhängen und welche die Quadratur der Oberflächeund die Ausmessung des Raumverhältnisses betreffen. Um dieallgemeine Differenzialgleichung zu erlangen, muss man in Bezugauf die Quadratur sich die Oberfläche als in elementare Ebenenzerlegt vorstellen, welche in jedem Sinne unendlich kleine sind,und zwar durch vier Ebenen, von denen je zwei auf den Axender horizontalen Coordinaten rechtwinklig stehen. Jedes dieserElemente, welches in der entsprechenden berührenden Ebene be-legen ist, hat zur horizontalen Projektion das Rechteck, welchesdurch die Differenzialen der beiden horizontalen Coordinaten ge-bildet wird. Die Oberfläche dieses Rechtecks ergiebt die des Ele-mentes selbst, nach einem sehr einfachen Lehrsatz; es braucht nurdurch den Cosinus des Winkels der berührenden Ebene mit derder horizontalen Ebene dividirt zu werden, und die Grösse der be-treffenden Oberfläche wird durch die doppelte Integration dieserDifferenzialformel mit zwei veränderlichen Grössen gewonnen. DieGrenzen jeder sich folgenden Integrale werden durch die Naturder Oberflächen bestimmt, deren Durchschnitt mit der, welche manbetrachtet, die zu messende Ausdehnung umschreiben muss.

Was den Kubikinhalt von Räumen, die durch krumme Ober-flächen begrenzt sind, anlangt, so kann dasselbe System dazu dienen,u m diesen Raum in vieleckige Elemente zu zerlegen; der unend-lich kleine Raum zweiter Ordnung, welcher zwischen diesen vierEbenen befasst ist, muss als gleich angesehen werden mit demRechtwinkligen Parallelopipedon, welches zur Höhe die Ordinatefles betrachteten Punktes und zur Grundlage das vorher gefundeneRechteck hat, weil ihr Unterschied nur eine unendlich kleineGrösse dritter Ordnung ist. Alsdann wird einer der einfachstenRehrsätze der Elementar-Geometrie für den Differenzial-Ausdruck