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Vierzehntes Kapitel.

des gesuchten Rauminhaltes die allgemeine Gleichung ergeben,von welcher man durch eine doppelte Integration den Werth desRauminhaltes ableiten kann, wenn man vorgängig aut che Be-stimmung der Grenzen jeder Integrale Acht hat.

Um die philosophische Betrachtung der Geometrie von dreiDimensionen zu schliessen, habe ich nur noch die rechnungsmässigeEintheilung der Oberflächen in natürliche Familien zu betrachten,welche Monge begründet hat und welche als die wichtigste Ver-vollkommnung der geometrischen Wissenschaft seit Descartes undLeibniz angesehen werden muss. Die Geometer haben vor ihmdie Oberflächen wie die Kurven nach der Gestalt und nach demGrad ihrer Gleichungen eingetheilt, allein dieses Prinzip', was fürche Gleichungen der zwei ersten Grade anwendbar ist, erfüllt keineder Bedingungen, welchen eine solche Arbeit zu genügen hat. BereitsNewton hatte bei Besprechung der Gleichung dritten Grades mitzwei veränderlichen Grössen, indem er sich auf die Herzählung derebenen Flächen beschränkte, welche sie darstellen kann, erkannt,dass man dabei 74 einzelne Arten unterscheiden müsse, welcheunter einander ebenso verschieden seien, als es die drei Ourvendes zweiten Grades unter sich seien. Niemand hat die allgemeineGleichung vierten Grades mit zwei veränderlichen Grössen berechnet,welche deren noch eine beträchtlich grössere Zahl ergeben würde,und diese Zahl müsste nach dem Grade der Gleichung noch ausser-ordentlich zunehmen. Es ist dabei klar, dass die Gleichungen mit.drei veränderlichen Grössen eine noch viel grössere Zahl von Ober-flächen ausdrücken und dass diese Zahl mit dem Grade noch vielschneller wachsen muss. Man beschränkte sich deshalb bei denOberflächen auf die Berechnung der Gleichungen der zwei erstenGrade. Ufeberdem widersprach diese Art die Oberflächen einzu-theilen, neben der Unmöglichkeit sie auszuführen, dem Prinzip jederguten Eintheilung, da eine solche die einzelnen Gegenstände, welchedie wichtigsten Beziehungen bieten, einander möglichst nahe zubringen hat.

Die bezeichnendste Eigenthiimlichkeit der Oberflächen liegtoffenbar in der Weise ihrer Erzeugung. Da die natürlichenGattungen in diesem Sinne geometrisch gebildet waren, musste maneine Art von rechnungsmiissiger Beziehung aufsuchen, welche eine