Vierzehntes Kapitel.

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konkrete Auffassung dieser abstrakten Einheit darstellte, und dieshat Monge gethan. Er bemerkte, dass die Oberflächen, welchederselben Weise der Erzeugung unterliegen, durch eine gewissegemeinsame Eigenthümlichkeit ihrer Berührungsebene für jedenbeliebigen Punkt sich auszeichnen; wenn man daher diese Eigen-thümlichkeit rechnungsmässig nach der allgemeinen Gleichung derBerührungsebene für irgend eine Oberfläche ausdrückt, so bildetman eine Differenzialgleichung, welche alle Oberflächen dieserFamilie darstellt.

Welcher Art auch die Entstehung der Oberflächen der-selben natürlichen Familie ist, so können sie doch alle rech-nungsmässig durch ein und dieselbe Gleichung mit Partialdiffe-renzen ausgedrückt werden, welche Gleichung beliebige beständigeGrössen, nach einer gemeinsamen Eigenthümlichkeit ihrer berühren-den Ebene hat. Um diese Uebereinstimmung zwischen dem geo-metrischen und arithmetischen Gesichtspunkt zu vervollständigen,hat Monge die schliesslichen Gleichungen betrachtet, welche dieIntegrale zu diesen Differenzialgleichungen bilden. Jede dieserschliesslichen Gleichungen muss, wenn die Differenzial-Gleichungeine der ersten Ordnung ist, eine beliebige Funktion enthalten,welche dem entspricht, was in der Erzeugung der betreffendenOberflächen Unbestimmtes enthalten ist.. Sind z. B. die Ober-flächen cylindrisch oder konisch, so betrifft dieses Unbestimmtedie Grundfläche; gehören sie zu den Rotationsflächen, so betrifftes die Meridiancurve, u. s. w.

Dadurch ist eine allgemeine Auffassung der Oberflächen mög-lich geworden, und man hat Resultate erlangt, die unendlich höherstehen, als die bis dahin erlangten. So hat man dadurch, um nure m Beispiel anzuführen, die besondere Eigenthümlichkeit jederhomogenen Gleichung mit drei veränderlichen Grössen dahin er-kannt, dass sie nothwendig eine konische Oberfläche darstellt, derenSpitze am Ursprung der Coordinaten sich befindet. Ebenso hat man^it Hülfe der Variations-Rechnung den kürzesten Weg eines PunktesZl1 einem andern auf einer irgendwie zu entwickelnden OberflächeEntdeckt, ohne dass man in die einzelnen Arten derselben einzu-£ e hen brauchte.

Diese Entdeckung von Monge enthält die vornehmste Be-