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Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik. —
Buchstaben des Alphabets, voraus x, wählte. — d. So lautet hei Stifel diebetreffende Regel: „Für das facit, deiner auffgab setz 1 20 . Handle damitnach der auffgab, bis du kommest auf ein equatz. Dieselbe reducir, so langbis du sähest das 1 zo^e.solvirt ist“. — e. Aus der Gleichung
■j/x 5 + 1/lT = a
erhält man durch Transposition und wiederholtes Quadrieren nach und nach]/xü = a — j/x x |/x = a a — 2a |/x -f x (x + 2a) j/x = a a -f x(x a -f 4ax + 4a a ) x = a 4 + 2a a x -f x a x 3 + (4a —1) x a -f- 2a a x — a 4 = 0so dass eine algebraische Gleichung dritten Grades vorliegt, während z. B.die für x = 2 identisch werdende Gleichung
2* + 3 ■ x = 10 und a = b*
Beispiele von transcendenten Gleichungen sind. Letztere lässt sich durchLogarithmieren in Lg a = x ■ Lg b, d. h. in eine algebraische Gleichung desersten Grades überführen. — Die Übung, die Gleichungen auf Null zu bringenund nach den Potenzen der Unbekannten zu ordnen, scheint durch Descartes ein-geführt worden zu sein. — f. Die 2 löst für t = l h und T = I2 h , wo t = l 1 ’ 5 5 /,,wird, das sog. Zeigerproblem.
38. Die Gleichungen mit mehreren Unbekannten. —
Hat man n Gleichungen mit n Unbekannten, so können sie auf(n — 1) Gleichungen mit (n — 1) Unbekannten reduziert werden,indem man mittelst Einer derselben Eine der Unbekannten durchdie übrigen ausdrückt und diesen Wert für sie in alle andernGleichungen einsetzt. Wendet man dieses sog. Eliminationsverfahrenwiederholt an, bis man auf Eine Gleichung mit Einer Unbekanntengekommen ist, so giebt diese den wirklichen Wert dieser letztem,und mit seiner Hilfe lassen sich sodann rückwärts successive auchdie übrigen Unbekannten definitiv berechnen — Ist die Anzahlder Gleichungen kleiner als diejenige der Unbekannten, so ergiebtdie Elimination eine Endgleichung mit mindestens zwei Unbekann-ten, — eine sog. unbestimmte Gleichung, der unendlich viele Systemevon Werten genügen, von welchen jedoch oft nicht ein einzigesgewissen Nebenbedingungen der Aufgabe entspricht, welche dieseGleichungen geliefert hat 6 . — Wenn endlich mehr unabhängigeGleichungen als Unbekannte oder sog. überschüssige Gleichungenvorhanden sind, so ergiebt sich nach durchgeführter Eliminationmindestens Eine Gleichung zwischen Bekannten, eine sog. Be-dingungsgleichung, an deren Bestehen die Existenzberechtigung derAufgabe geknüpft ist c .
Zu 38: a. So findet man z. B. ans den beiden Gleichungenx + 5y - - 191 3x-f2y=118
successive
x = 191 — 5y 3(191 — 6y)~f-2y = 118 oder 13y = 455also y = 35 x = 191 — 5 x 35 = 16
Auf andere Eliminationsmethoden kann ich hier nicht eintreten: dagegen mag