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— Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik. —

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zu haben, erst fünfjährig war; auch kann Vietas Methode absolut nicht mitder Regula aurea , höchstens mit dem Biirgi’schen Verfahren in 31, in Parallelegesetzt werden, und dieses ist eben auch jünger, so dass es nnr aus redaktio-nellen Gründen vorangestellt wurde. — Cardans Regel besteht darin, dass man,um eine numerische Gleichung der Form

A • x” -f- B • x n ~' + • • • + N ■ x = a 1

aufzulösen, zunächst durch Versuch zwei um eine Einheit differierende ganzeZahlen «, und k 2 , oder, wie sich Cardan ausdrückt, ein erstes und ein zweitesInventum ausmittelt, von welchen das erste, wenn man in 1 links x dadurchersetzt, ein Productum primum r, <a ergiebt, während man beim Einsetzendes zweiten ein Productum secundum r 2 > a erhält. Sodann hat man dieDifferenzen

a — r, = d, r 2 — a = d 2 r 2 — r, — d 2 + d, = D 2 3

zu bilden, welche Cardan der Reihe nach als „erste, zweite und grössere“ be-zeichnet und nunmehr von der Annahme ausgeht, man finde für x einen, vonihm als eestimatio imperfecta bezeichneten ersten Annäherungswert, wenn man« 3 aus der Proportion

«s-

d,

D„

bestimme, d. li. k 3

I + V

Do

setze. Sodann solle man das « 3 entsprechende Produkt r 3 und die DifferenzD 3 = r 2 —r 3 suchen, — zur Bestimmung eines neuen Näherungswertes a i dieProportion („, — « 4 ) : (« 2 — « 3 ) = d 2 : D 3 4

benutzen, — u. s. f., bis man eine genügende Annähernng erhalten zu habenglaube. — c. Vertauscht man in 3 die Buchstaben « 2 , d, und d 2 der Reihenach mit a,, a 2 , — f ( und f 2 , so erhält man als ersten Näherungswert

a, * fi> ~~ a., • f,

-f,

a.

■ a

f 2 -f, ■ f 2 -f,

d. h. genau denjenigen Wert, welcher nach 27 : b der Regula Elchatayn oderder frühem Regula falsi entspricht, so dass in der That das Verdienst vonCardan nur darin zu bestehen scheint, die alte Regel durch ein neues Kleidwieder in Kurs gebracht zu haben; aber in Wahrheit ist dem nicht so:Während die zeitgenössischen Mathematiker, wie ein Rainer Gemma, ein SimonJacob , etc., sich vergeblich abmühten, die nnr für Gleichungen ersten Gradeswirklich zutreffende Regula falsi so abzuändern, dass sie auch für höhereGleichungen definitive Resultate liefere, so hatte dagegen Cardan die guteIdee, dieselbe intakt zu lassen, und mittelst derselben durch snccessive An-näherung zum Ziele zu gelangen, indem er den frühem beliebigen Annahmenvon vornherein zweckmässige Inventa substituierte; es war dies für diedamalige Zeit eine entschiedene Leistung, welche ich weit höher schätze alsdie früher (29) berührte. — d. Biirgi widmete dieser Erweiterung der altenRegel in seiner „Arithmetica “ unter der Aufschrift „Wie auss zweyen falschenWerthen, deren einer zu gross und der ander zu klein ist, der rechte Werthder Radix zu erkundigen“ einen eigenen Abschnitt, und zeigte theils im all-gemeinen, teils an einer ihm (63) zur Bestimmung der Subtensa von 40° vor-liegenden Gleichung 8. Grades deren praktische Verwertung mit so viel Um-sicht, dass wir noch jetzt kaum Besseres zu geben vermöchten. (Vgl. Mitth. 31von 1872). — e. Für die Begründung wird auf 42 und 69 verwiesen. —f. Euler wandte z. B. die Regula falsi in seiner „Introductio (II 306 u. f.)“auf Lösung der transcendenten Gleichung x = Co x an.