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— Die sog. Kombinationen. —
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33 . Die sog. Kombinationen. — Sollen n Grössen aufalle möglichen Arten je zu h oder zur Klasse h, zusammengestelltwerden, so hat man für die erste Stelle n Grössen zur Auswahl,für die zweite noch (n — 1), für die dritte (n — 2), u. s. f., für dieletzte noch (n — h -f- 1); es gieht also
Y (n, h) = n (n — 1) (n - 2) .. . (n — h + 1) 1
mögliche Zusammenstellungen dieser Art oder sog. Variationen.Darf jedes Element beliebig oft erscheinen oder soll mit Wieder-holung variiert werden, so bleiben auch für die 2., 3., etc. Stellealle Elemente zur Auswahl, und es giebt daher
V(n, h, w) = n h 3
•He Anzahl der Variationen mit Wiederholung. — Kömmt die An-zahl n der Grössen mit dem Klassenzeiger h überein, so heissendie Variationen Permutationen, und es gieht somit nach 1
P(h) = 1.2.3...h = h! 3
Permutationen aus h Elementen a . Behält man daher von allenVariationen der n Elemente zur Klasse h, welche dieselben Elementeenthalten, je nur Eine hei, so bleiben nach 1 und 3 noch
f , r _ M n (n - 1) (n - 2) ... (n — h + l)_/n\ f
c(n,h)_- 1.2.3.h '“Ui
Formen übrig, welche nun als Kombinationen bezeichnet werden b .
Kommen unter den zu permutierenden h Elementen p gleichev or, so erscheint jede Permutation p! mal, und man muss somit,wenn man nur die Anzahl der wirklich verschiedenen Formen kennenwill, die nach 3 erhaltene noch durch p ! teilen, so dass z. B.
P'(h) = S
p ! X q !
die Anzahl der Permutationsformen von h Elementen giebt, unterwelchen ein Element p mal, ein zweites q mal vorkömmt c . — SollKlan endlich n Elemente zur Klasse h mit Wiederholung kombinieren,s ° vermehrt man gewissermassen die n Elemente um (h — 1) neueElemente, so dass nach 4
0 (n, h, w) = (h + ~ 1 ) 6
die Anzahl der nunmehr möglichen Formen giebt'*. Etc. — ZumSchlüsse mag noch bemerkt werden, dass man unter dem AusdruckeKombinationen wohl auch ausser diesen die Variationen und Per-mutationen mithegreift e und in diesem Sinne alle vorstehenden undverwandten Untersuchungen zu einer Kombinationslehre zusammen-fasst.