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— Die Methode der unbestimmten Koeffizienten. —

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nConsiderations nouvelles sur la theorie des suites et snr les lois de lenrconvergence7(Compt. rend. 1840)“ endgiltig ausgeführt hat. Wir können unsjedoch hier mit dieser Specialität nicht eingehender befassen.

38. Die Exponentialreihen. — Aus dem Umstande, dassfür a^»l und jede sehr kleine Zahl w notwendig die sehr vieleGlieder besitzende Folge

a° = 1 a w i"- 1 a 2w >• a" ... a 1 = a

besteht, kann man schliessen, dass a" die Einheit um eine kleine,®>it w und a zunehmende Grösse übertreffen werde, dass man alsoa w = 1 -!- kw oder w = La (1 -f- kw) 1

Se tzen dürfe, wo k eine irgendwie von a abhängige Grösse und La ei nen Logarithmus der Basis a bezeichnet “. Hieraus folgt aber,Wenn w = z: m ist, mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes

t ,» m, m(m —l). „ „ , m(m —l)(m —2), ,

a = (l + kw) = 1 -h — kw -V-“- k 2 w 3 + — . -- k 3 w 3 -

1

1

kz t m — 1

T + T727m

k s s

1.2

(m -1) (m - 2)

1.2.3

k 3 z 3

1.2.3 . m 2

°üer da, wenn z eine endliche Zahl bezeichnen soll, m unendlichgross sein muss, also (m — 1) : m = (m — 2 ): m = ... = 1 zu setzen

die sog. Exponentialreihe

k-Z-’

kz

T

k

1 .2

k s

a‘ = 1 i

Woraus sich für z = 1

a = H j . l 2

üüd durch Umkehrung nach 37 : 4(a

k 3 z 31.2.3

k*

1 72'. 3

3

3

k = (a — 1)

-D* , (a — l) 32^3

(a-i) 3

4

ebt, so dass z. B. a = 10 und k = 2,30258 annähernd korrespon-^'ei'ende Werte sind b .

3S: a. Ich folge aus dem früher angegebenen Grunde dem Wege,"'eichen Euler in Kap. 7 seiner klassischen „Introductio“ eingeschlagen hathhd fügejnoch hei, dass sich Marc-Michel Bousquet (Grancy hei Morges 1696?'"Lausanne 1762; Buchhändler in Lausanne; vgl. Notiz 178) durch Übernahmevielfachen wissenschaftlichen, wenn auch nicht sehr lukrativen Verlages, unds Peciell des eben erwähnten Kapital Werkes, ein so grosses Verdienst erwarb,üass es mir als Pflicht erscheint, seiner zu gedenken. — b. Es bleibt zu er-mähnen, dass die Exponentialreihe schon vor Euler durch die Newton, Joh.®8rnouHi, etc., und dann wieder nach Euler durch die Lagrange, Cauchy , etc.,vielfach und in verschiedener, sich namentlich später immer verschärfender'^eise abgeleitet wurde, dass ich mich aber hier darauf beschränken musste,lle n ersten dazu führenden systematischen Weg anzudeuten: Einen sicher zum