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— Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik. —
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Ziele führenden ersten Pfad zu finden, ist immer die Hauptthat, — ihn späterzu verbessern oder zu verlegen, ist verhältnismässig leicht, — und überdiesmeint Mancher einen neuen Weg zu gehen, während er eigentlich nur neueStiefel an den Piissen hat.
ili). Die log'avithiuisclien Reihen. — Setzt man
(1 -f- kw)"' = 1 -(- x oder w = ^ £(1 + x) — 1J Iso erhält man aus 38 : 1 mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes
La(l xi imv
(1 i-x)
kl" 1,2.m'oo einführend,
(m—l)(2m — 1)lATs-m* ;
+
x 1
4
Aus dieser fundamentalen Reihe ° folgen successive
1
k
x^ x J2 ' 3
La
x ö
3
x"
4
x 7
x ii f X 3 1 5 ' 7
f- n +
...]:..j
"j
3
3
-i
und, wenn man x durch <J:(2yH~ §) ersetzt, aus 4
2 r <)•
k l 2y + ö
eine ganz bequeme Interpolationsformel. — Setzt man k = 1, sowird nach 38 : 3
La (y + d) = La y +
a — 1 -|- .. .
1
1 . 2.3 +
2,71828 18284 59045
1
1 1 1.2
welche Zahl Euler mit e bezeichnete 6 und als Basis der sog. natür-lichen Logarithmen wählte c , für die wir das Symbol Ln gebrauchenwollen, während Lg wie früher (24) den gemeinen Logarithmen derBasis 10 zukommen soll. Setzt man 1 -f- x = y, so geht hienach 2 in
1 - - y-i (y-i)* + (y-i).'.
... o
La y = k ■ Ln y wo Ln y = ^ y — - yoder, da hieraus für y = a oder y = e
1 = ^ Ln a = k . La e folgt, in La y = ^ • Ln y = La e . Ln y 'i
über, und dabei nennt man nach dem Vorgänge von Cotesius denFaktor 1 : k = 1: Ln a den Modulus des betreffenden Logarithmen-systemes'*. — Anhangsweise mag noch darauf hingewiesen werden,dass aus 5, wenn Ax eine kleine Grösse bezeichnet, die Beziehung
/\
Ln (x + Ax) , Ln x + &
folgt, von welcher wir später (41) Gebrauch machen werden.