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— Die sog. goniometrischen Reihen. —

103

Si(a + b) =

Tg( az: b)=

: Si a. Co b _i- Oo a.Si b, Oo(a -f b) — Co a. Co b 4- Si a. Si b I I

Tg a r Tg b (Rh I M Cta - Ctb + 1

' I • Tg a. Tg b 1 Ct b ± Ct a"

19

verifizieren, und schreibt man die 6 für beide Zeichen auf, so er-hält man mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes

Si nx — £(Co x -f- i. Si x)” — (Co x — i Si x)°J =

= Co" -1 x . Si x — Co“ -3 x . Si 3 x -+-. .. 1 *1

Co nx = | |^(Co x -j- i Si x)° -f- (Co x — i Si x)"J =

= Co° x — Co" -2 x . Si 2 x .. . 14

Und hieraus, wenn man successive n = 2, 3, 4 etc. setzt,

Si2x = 2 Si x . Co x Co2x = 2Co 2 x —1

Si3x = 3Six — 4Si 3 x Co 3x = 4 Co 8 x — Co x 15

Si 4x = (4 Si x — 8 Si 3 x) Co x Co4x = 8Co / ‘x- 8Co*x + l

etc,, wo das letztere System sich successive auch in

Co 2 x = -* + y Co 2x

Co s x

Co 8 x

Co x -fCo 4x

Co 2x

16

3 .1

4

T + 2~ Co2x + T

etc., umsetzen lässt 1 '. — Logarithmiert man die zweite 5 unter Be-nutzung von 39 : 4, so erhält man die wichtige Reihe1 „ .. . 1 , 1

x = Tg:

3 Tg 8 x + -g- Tg 5 x

Tg 7 x + ...

II

Ferner mit Hilfe von 3 und des binomischen Lehrsatzes

i 1 Q P)

x = Si x. (1 - Si 2 x) -,/ * -- Si X : Si 8 x 1 -5- Si 5 x i- ^ Si J x r ... 1«

Und wenn man für Tg x aus 18 in 17 substituiert

x = Si x - 1 [ Si 3 x | ~ Si ä x -f Si 7 x -1- . .. 16

6 40 112

e h;. ", und so kann man auf der von Euler gegebenen Grundlagenfit ausserordentlicher Leichtigkeit, ja fast spielend, alle Errungen-schaften seiner Yorgiinger und noch zahllose neue erhalten d . -----■^■uhangsweise mag noch hervorgehoben werden, dass man aus den 11,'vcnn Ax einen kleinen Zuwachs von x bezeichnet, mit Hilfe von

7 und 8

^ (x-f Ax) = Si x . Co Ax + Co x ■. Si Ax Si x ■+ Cox . AxCo(x+Ax) = Cox . Co Ax — Si x . Si Ax Cox — Si x . Axer hält, wovon wir demnächst (41) Gebrauch machen werden.