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— Einige Vorkenntnisse ans der Arithmetik. —

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der Zahlen 1 —100 und der nötigen Hilfsfaktoren (1 • a • 10 — n ) enthalten,sowie die 1—Ofachen von Ln 10 und Lg e = 1: Ln 10 und damit auch Ln 10"ii ■ Ln 10, auf nur zwei Seiten gewissermassen eine Logarithmentafel vor,welche sonst einen starken Folianten füllen würde. Es ist diese merkwürdigeMethode, wenigstens soweit sie gemeine Logarithmen betrifft, unter Beigabevon auf 15 Stellen gehenden Hilfstafeln, schon von Briggs in Kap. 13—14 seiner„Arithmetica logarithmica“ von 1624 gelehrt, dann aber wieder so total ver-gessen worden, dass sie von Rob. Flower in seiner Schrift „The Radix, or newway of making Logarithms. London 1771 in 4.“ zum zweiten, ja von Leoneil'in seiner Schrift von 1803 (vgl. 25) unter Ausdehnung auf 20 Stellen undnatürliche Logarithmen, sogar zum dritten Mal erfunden werden konnte.Seither ist sie noch.in „Fedor Thoman, Tables de logarithmes ä 27 decimalespour les calculs de precision. Paris 1867 in 8., — und: Reinhold Hoppe , Tafelnzur dreissigstelligen logarithmischen Rechnung. Leipzig 1876 in 8.“ weiterausgeführt worden, während „J. Eilis, On an improved bimodular Method ofcoinputing natural and tabular Logarithms and Anti-Logarithms to 12 or16 places, with very brief Tables (Proc. Roy. Soc. 1881)“ eine andere, sichan 5 anschliessende Methode portierte.

40. Die sog. goniometrischen Reihen. — Führt man vierneue Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens durch

SiX:

Tg x

2i

Co x =

2

Si x

e 2*l _ 1

1

et x = Oox .._Si x Tg x

Cox i (e 2xi -4-1)

ein °, wo i das in 19 eingeführte Symbol für V — 1 ist, so ergehensich sofort die Beziehungen

Si 2 x + Co 2 x = 1 Tg x . Ct x = 1 3

1 + Tg 2 x = 1 : Co 2 x 1 + Ct 2 x = 1 : Si 2 x 4

Co x t i Si x

1 + i.Tg x

Co:

i Si:

5

1 — i. Tg x Co x — i Si x

(Co x r i . Si x) n = nxi — Co nx __r i. Si nx 0

ferner unter Beiziehung von 38 : 2 für a = e und k = 1 die Reihen

X 3 X 5 ■ X 7

1.2.3 “ 1.2.3.4 . ö 1.2.3. 1 (5.6.7

Si x =

,, , x 2 x 4 __ x (i

° X 1.2 + 1 . 2 . 3.4 “ 1 . 2 . 3 . 4 . 5.6

sowie als deren Quotienten auch die Reihen

1

&

Tg x = i [l + i x« + ~ x< + -I- • • ■]

CtX — 'i'[* “ 3 ~ 46 X ‘“ 1 1 ]

Ebenso lassen sich mit Hilfe der 1 und 2 leicht die Formeln

9

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