4(1
Die sog. goniometrischeii Reihen.
10.5
Hat man somit die Gleichungen
x ■ Si y = a • Si « — b ■ Si ß x • Co y = a ■ Co « — b ■ Co ß ZU
ans welchen sich, wenn man 25'-Co« — 25"Si« und 25' • Si « : -25"-Co«bildet und dividiert, h • Si («_ ß)
Tg (y — «) =ergieht, so erhält man nach 24. h
a — b • Co (« — ß)
b 4
y = « ~r a • Si (« —ß) ! 2a ä 1 Si 2 (« — /?)
3«
ZS
Verner erg-iebt sich aus 39 : 2 und 15
1
Dn l 7 ! j 2 a • Co x + a 4 =
(2 a Cox | a 4 )-
. etc;, etc.
= a • Co x -
Co 2x
(2 a Co x i a 4 ) 4 ; ..,
Co 3x —.. ,
ZS
41 . Begriff der Differentialrechnung. — Ist eine Variable yals Funktion einer andern Yariabeln x gegeben oder auch durcheine Gleichung mit ihr verbunden, so muss es möglich sein, dieeiner kleinen Veränderung Ax der letztem entsprechende Ver-änderung Ay der erstem zu bestimmen, wie dies im vorhergehendennuch wirklich schon in mehreren Fällen geleistet worden ist, —nnd ebenso muss es möglich sein, die entsprechende Aufgabe zulösen, wenn eine Variable von mehreren andern Variabein ahhängt,ja vielleicht einzelne dieser letztem seihst wieder Funktionen sind,etc. Die Gesamtheit der Regeln, welche in den verschiedenen Fällenz ur Lösung dieser Aufgabe führen, bildet die Grundlage des vonNewton als Fluxionsrechnung und gleichzeitig von Leibnitz unter Mit-wirkung der altern Bernoulli als Differentialrechnung in die Arith-nietik eingeführten neuen und höchst fruchtbaren Abschnittes, dessenUruudziige wir im folgenden zu behandeln haben “. — Das Ver-hältnis Ay: Ax der erwähnten Zunahmen hängt offenbar einerseitsmit der Natur der Funktion und der Grösse von x zusammen, ist;i ter anderseits auch, sobald die Funktion in Beziehung auf x nichty om ersten Grade ist, von der Grösse von Ax abhängig. Um sichnun von letztenn Einflüsse zu emanzipieren, lässt man Ax unend-lich abnehmen, wodurch sich A y : A x immer mehr einem Grenz-werte, der sog. Limes, nähert, welchen man mit dy : dx bezeichnetund Differentialquotient, wohl auch Fluxion oder erste Ableitung nennt.Hs entsprechen sich also offenbar
Ay f(x + Ax) —f(x)
•’ " W Ax Ax
so z. B.
dy
dx
dy
dx
y = a b . x -f- c . z -f-. . . und
r • / A y
Limes | — ■VA
dz
9
b + c . ~ +
dx
*4