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— Der sog. Taylor'sche Lehrsatz. —

10Ö

Und sodann

f (x + h,y+k) = f(x,y)+^

■ k

' 1 \dx 1

ll nd so weiter h .

df , k* d 2 f

dy 1.2 dy a

d,f -i \+

d x . d y ) ^

Zu 42 ; a. Der Taylor ’sche Lehrsatz wurde entsprechend seinem Namenvon Brook Taylor (Edmonton in Middlesex 1685 — London 1731; Privatgei.London) in seiner „Methodus incrementorum directa et inversa. London 1715hi 4.“ zuerst ausgesprochen, sodann von Lagrange, Ampere, Cauchy , Roche, etc.,in verschiedener Weise abgeleitet und namentlich auch das sog. Restglied,d. h. der beim Weg werten späterer Glieder entstehende Fehler, ermittelt,wofür ich auf die bereits (41) gegebene Speciallitteratur und auf „E. Marloh,Geschichte des Bestes der Taylor’schen Beihe. Göttingen 1881 in 8.“ verweise.— b. Als Beispiel der Anwendung setze ich

Co yz | b wo z == Co x 4

Wofür nach 2 und 41: 4

y = Aco (z - ; ■ b) = f (z -f b) = f (z) |- j f' (z) + “ ■ f" (z) -|-

f “ ( z ) —_*

1 Si 2 x ‘’

Wo f(z) = Acoz = x f ‘ ( z ) = ^

folgt, so dass also schliesslich, wenn y und x in der gewöhnlichen Winkel-einheit ausgedrückt, also die übrigen Glieder mit Si 1" dividiert werden,

_ _ b l _ b 2 Ct x _y — x Sii" ’ Si x 2Sil" Si 2 x *

erhalten wird. Entsprechend findet man die korrespondierenden Beziehungen

b 1 b 2 Tg x „

Si y = Si x - j ■ b

und

y x

Si 1" Cox 1 2 Si 1" Co 2 x

Wird ferner y = f(x) für x —« zu Null, für x = a, - - a |-h aber zu <1, undfür x = a ( = a : k zu d 4 , so hat man nach 2

h. , k

i. = f(«) , f' («)-!■

f;«) I- . f'(«) :

daher, da f («) 0, für kleine Werte von h und k angenäkert

<),: i) 4 = h : k = (a, — «): (a, — «) oder « = a, — i>\ ■ £ _ J 7

womit die allgemeine, sich also auch auf transcendente Funktionen erstreckendeGiltigkeit von 32: 5 oder der Begnla falsi erwiesen ist.

43 . Die Reihen von Maclaurin und Lagrange. — SetztWan in der Taylor’schen Reihe x = 0 und bezeichnet die ent-sprechenden Werte von f(x), f'(x), ... mit f(0), f'(0),..., so erhältWan, wenn schliesslich h mit x vertauscht wird, die nach Maclaurin “Genannte Reihe

f(x) = f(0)+ * • f' (0)^ e tzt man ferner

x 2

1.2

• f" (0) + ...

d . yj (w)d w

*4

u = y (y)

y — w - 1 - x . (f (y)