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— Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik.
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so erhält man durch Differentiation h und Anwendung von 1miclffLagrange e benannte Reihe
, \ . . , x , . . . x 2 d [ (p (w) 2 . z | ,
V (y) = y (w) 4- j [ </> (w). z] + j -jj • ' v (| + • • •
die
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welche wohl auch als Dagrange’sche Reversionsformel bezeichnet wird.Zn 43: Tr. Colin Maclaurin (Kilmoddan in Schottland 1698 — York 1746;Prof. math. Aberdeen und Edinburgh ) entwickelte seine Seihe in seinem „Treatiseof Fluxions. Edinburgh 1742, 2 Vol. in 4. (franz. durch Pezenas, Paris 1749)“.— b. Durch Differentiation erhält man successive
1
1 — X • q,‘ (y)
9 (y)
dyd w
- 1
+ x
■ t‘ (v)■
dy ,
• oderd w
dy
d w
d y _
dx
= 9
(y)
: - X •
<
dy
dx
flu
'(y)-
dy
du
1 (yi
dv
dw ~~
= V
d w
dx " : ''
' dx
d 2 u
(y ) d
d 2 u
dv
du
dx 2 '
w • d x
■ tf,‘ ty)
dx
d w
= f (.VI
dy
l — x • q: (y)
r= ■/•■' (y) • v (y) a w —
_d. f<jp (y) 2 • du : dw]
d w
,.dy
d w
<p (y)
dud w
etc., oder, wenn man x = 0, also y = w, setzt,
f (0) = y (w) f' (0) = <f (w) • z f “ (0) = eto -
— c. Lagrange entwickelte, durch ähnliche Untersuchungen von Lambert ver-anlasst, seine Reihe in der Abhandlung „Sur le Probleme de Kepler (Mem.Berl. 1769)“. — d. Die Lagrange'sche Reversionsformel wurde noch späterwiederholt behandelt und namentlich durch Laplace in seiner „Theorie dumouvement et de la figure elliptique des planetes (Mem. Par. 1784)“ wesentlichverallgemeinert. Vgl. auch „Ludwig Schläfli (Burgdorf 1814 geb.; Prof. math.Bern ), Über eine Verallgemeinerung des Lagrange’schen Lehrsatzes, für dieder Beweis noch gefordert wird (Bern . Mitth. 1848)“.
44 . Die Lehre vom Maximum und Minimum und denscheinbar unbestimmten Ausdrücken. — Offenbar nimmt f (x)für jeden Wert von x, dessen Nachbarwerte (x + h) entweder beideAbnahme oder beide Zunahme von f (x) bedingen, ein Maximumoder ein Minimum an. Da nun die Grösse h immer so klein an-genommen werden kann, dass ein mit einer Potenz derselben be-haftetes Glied über die Gesamtheit der Glieder mit höhern Potenzendominiert, so folgt (42), dass für jeden Wert von x, der f' (x) =0macht und also das mit h sein Vorzeichen wechselnde Glied be-seitigt, f (x) ein Maximum oder Minimum annimmt, je nachdem fürdenselben Wert von x die zweite Ableitung f" (x) ein negativesoder positives Vorzeichen erhält. Sollte dieser Wert aber auchf" (x) = 0 machen, so hätte nach denselben Grundsätzen nur dannein Maximum oder Minimum statt, wenn auch noch f"' (x) = 0 undf IV (x) negativ oder positiv würde; etc.“ — Da (42)
f (x + h) f (x) -+- h . f' (x) 4- */* h 2 . f " (x) + . ..
F (x 4- h) F (x) 4- h . F' (x) + Vs h 2 • F" (x) 4- ...