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Die sog. Methode der kleinsten Quadrate. —

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t ;i f = a -|- a, (t, ± f,) -\- a 2 (t 2 ± £,) -(- oder 4 - f = ± a, f, + a 2 fi ä J_ • • •

woraus, ganz in derselben Weise wie unter c verfahren wurde, sofort 9' undsodann unter Zuzug von 24 auch 9" erhalten wird. — i. So z. B. korrespon-dieren nach 10 und 11

t — t,. tj. t 3 ...

f , r f ‘ V Vi

= t,"

= n . t, n — 1 . dt.

= n.t, — 1 .f,

= t,: t ä

-M)

- ’ iV-tu

= Ln t.

= d t,: t.

= f| : L

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etc. — jh\ Hat man n Gleichungen der Form 12 und substituiert in dieselbenfür die Unbekannten irgend welche Werte, so wird im allgemeinen sich stattNull eine Grösse f ergeben; man wird somit durch Quadrieren und Addierender sämtlichen Gleichungen die Beziehung

x* ■ a* + y - • v h* \ -f- 2xy A’ ab -|-f- 2x v ah +.2y .V’bli + •• = E f 2 2 S

erhalten, und es handelt sich nun bei der Methode der kleinsten Quadrateoffenbar darum, die Werte der Unbekannten so zu bestimmen, dass 2,’f 4 e * nMinimum wird. Dies wird aber nach 44 ganz sicher geschehen, wenn

x • £ a 2 + y • J7ab +.f- JCah = d (J7f*): dx = 0

x-l’ab |-y- 2’b 2 +.+ 2’bh = d (£{*): dy = 0

etc., und man braucht somit die Unbekannten nur aus diesen Gleichungen,welche sich, wie schon Legendre lehrte, nach der bereits gegebenen Regelleicht direkt aus den 12 erhalten lassen, zu berechnen, um ihre besten Wertezu besitzen. — Für einige Anwendungen auf Buch III verweisend, mache ichzum Schlüsse zur Ergänzung der in 50 und seither beiläufig erwähnten Schrif-ten noch auf folgende aufmerksam: „Fourier, Memoire sur les resultats moyensdeduits d’nn grand nombre d’observations (Rech. Statist. III von 1826), und:Second memoire sur les resultats moyens et sur les erreurs de mesure(d to IV von 1829), — Cauchy , Memoire sur le systöme de valeurs qu’il fautattribuer ä divers elemens determines par un grand nombre d’observatiouspour que la plus grande de toutes les erreurs, abstraction faite du signe,devienne un minimum (Journ. de l’ec. pol. 20 von 1831), — Encke, Über dieMethode der kleinsten Quadrate (Berl. Jahrb. 1834—30), — .1. Bienayme , Surla probabilite des resultats moyens des observations (Sav. etr. VI von 1838),— Bessel, Untersuchungen über die Wahrscheinlichkeit der Beobacktnngsfehler(A. N. 358—59 von 1838), und: Ein Hilfsmittel zur Erleichterung der An-wendung der Methode der kleinsten Quadrate (A. N. 390 von 1840), — ChristianLudwig Gerling (Hamburg 1788 — Marburg 1864; Prof. math. Marburg ), DieAusgleichungsrechnungen der praktischen Geometrie. Hamburg 1843 in 8., —Auguste Bravais (Annonay 1811 — Versailles 1863; Prof. astr. Lyon , dannProf. phys. u. Akad. Paris; vgl. Elie de Beaumont in Mem. de l’Inst. 1866),Analyse mathematiqne sur les probabilites des erreurs de Situation d’un point(Mem. Par. 1846), — Wilhelm Denzler (Sulgen im Thurgau 1811 geb ; Prof,roatli. Zürich ), Über den Fundamentalsatz der Methode der kleinsten Quadrate(Ziirch. Mitth. II von 1852), — Jul. Zech, Einladung zur Feier des Geburts-tages des Königs, nebst einer Abhandlung zur Methode der kleinsten Quadrate.Tübingen 1857 in 4., — Joseph Dienger (Hausen beiBieisach 1818 geb.; Prof,math. Karlsruhe ), Die Ausgleichung der Beobachtungsfehler nach der Methode