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— Die Erzeugung' durch Bewegung. —

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komplementär, supplementär oder explementär, und wenn man deneinen oder beide Schenkel eines Winkels über seinen Scheitelhinaus verlängert, so erhält man den zu ihm supplementären Neben-winkel oder den ihm gleichen Scheitelwinkel ; die Lagen endlich,Welche die Axe hei verschiedener Verschiebung des Drehpunktes,aber gleicher Grösse der Drehung, annimmt, heissen parallel (zeilig).

Um zu einem ausser der Axe liegenden Punkte (m) zu gelangen,bann man entweder die Axe sich nach dem Punkte drehen unddann den Pol bis zu ihm fortschreiten lassen, oder man kann denPol in der Axe so weit vorwärts bewegen, dass er sodann nachDrehung um einen festgesetzten Betrag (a) denselben erreichen kann :Im erstem Falle wird offenbar der äussere Punkt seiner Lage nachdurch einen Winkel, den Positionswinkel (v), und einen Fortschritt,den Radius vector (Leitstrahl r) bestimmt, welche zusammen seine8o g. Polarcoordinaten ausmachen, — im zweiten Falle durch zweiPortschritte, die Abscisse (x) und die Ordinate (y), welche man■'echtwinklige oder schiefwinklige Coordinaten heisst, je nachdem derangewandte Drehwinkel («) ein Rechter ist oder nicht. Die Posi-tion variiert nach der Lage des Punktes von 0 bis 360°, — Abscisseand Ordinate zeigen, den 4 Quadranten entsprechend, die Zeichen-folgen ~i-■-|- und -f- ■!- —■, während der Radius vector

e ine absolute Grösse ist d . — Lässt man sich Fortschritt und Drehungabwechselnd folgen, so beschreibt der Punkt eine sog. gebrocheneLinie, und dabei heissen die einzelnen Fortschritte Seiten, die mitden Drehwinkeln gleichartigen Winkel der Seiten Winkel, und dieDrehpunkte konkave oder konvexe Ecken, je nachdem die DrehwinkelOnd somit auch die sie zu 2 R oder 6 R ergänzenden Winkel,konkav oder konvex sind. Schliesst sich die gebrochene Linie nachn Doppelbewegungen, d. h. kehren Punkt und Gerade in die ur-sprüngliche Lage zurück, so wird die gebrochene Linie zum n-Eck(Vieleck, Polygon ) «, und es ist sodann die Summe aller Winkel

offenbar

P. (p, r) = 2 (n + 2p — 2r) R

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Wo p die konvexen Ecken und r die von der erzeugenden Geradengemachten Umdrehungen zählt f. Seiten und Winkel zusammenLeissen Elemente, und man sieht leicht ein, dass (2n —3) sichfolgende dieser Elemente beliebig, die letzten 3 dagegen durch das^ehliessen bestimmt sind: Wenn daher zwei n-Ecke entweder (n — 1)Seiten und die von ihnen eingeschlossenen (n — 2) Winkel, oder( n — 2) Nebenseiten und die ihnen anliegenden (n — 1) Winkelgleich haben, so müssen sie identisch gleich oder kongruent sein, —Während sie dagegen ähnlich heissen, wenn die Einheit des Fort-