144

— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie.

54

Schrittes nicht dieselbe ist, also zwar noch die Winkel, aber nurdie Verhältnisse der Seiten gleich sind n.

Zn 54 : a. Je nachdem zur Erzeugung der Eaumgebilde nur die beidenersten oder alle drei Bewegungen in Anspruch genommen werden, teilt maudie Geometrie in ebene und räumliche, mit deren erstem- wir uns zunächstausschliesslich befassen werden, zu der zweiten erst in 81 übergehend. —b. So dienten und dienen zum Teil noch als Längeneinheit: Euss, Elle, Meter,Passus, Toise, Meile, etc. Vgl. Tab. I. — c. Betreffender Detail wird in 57bei Anlass der entsprechenden Einteilung des Kreises nachgetragen werden. —d. Die längst in der Astronomie (176) und Geo-graphie (217) bestehende Übung, die Lage auf derHimmels- oder Erdkugel durch eine Art sphärischerCoordinaten zu bestimmen, wurde spätestens (69)um die Mitte des 14. Jahrhunderts auch für dieGeometrie nutzbar gemacht, indem Nik. Oresme inseinem „Tractatus de latitudinibus formarum (Padua1482 in 4., und später)“ rechtwinklige Coordinatenzur Darstellung einer Erscheinung gebrauchte: Er bezeichnete sie allerdingsnoch als longitudo und latitudo, während sodann Leibnitz in einem 1076 anOldenburg geschriebenen Briefe die jetzt gebräuchlichen Benennungen Abscisseund Ordinate, und 1692 in den Act. Erud. auch noch den Sammelnamen Co -ordinaten zuerst eingeführt zu haben scheint. — e. Ziehtman die mit den n Seiten eines n-Ecks zusammenfallendenn Geraden nach ihrer ganzen Länge in Betracht, so erhält

man ein sog. n-Seit, bei welchem jeder der Durch-

schnittspunkte Ecke genannt wird. Während sich daherim n-Eck zu jeder Ecke nur (n — 3) mit ihr nicht ineiner Seite liegende sog. Gegenecken finden, und daher nur3) Verbindungslinien solcher Gegenecken oder sog. Diagonalen ge-

n (n -

zogen werden können, so giebt es im n-Seit zu jeder Ecke ( n 2 ) Gegen-/ n \ V 2 /

ecken und somit 3 I 4 1 Diagonalen. — f. Da auf p konvexe Ecken im n-Eck

(n —p) konkave Ecken kommen, so beträgt offenbar die Summe aller Winkelund Drehwinkel p - 6R |- (n — p) • 2R == 2 (n + 2 p) R, während bei r Um-drehungen die Drehwinkel für sich r ■ 4 R ausmachen: Aus der Differenz gehtaber unsere 1 hervor, welche von mir in meiner Schrift von 1841 zuerst ge-geben wurde, während allerdings schon Thibaut in seinem „Grundrisse“ von1801 die Winkelsumme des Dreiecks in verwandter Weise bestimmte. —-f/. Das Symbol oo für die Ähnlichkeit, aus welchem sodann das Symbolfür die Kongruenz von selbst hervorgeht, scheint Leibnitz eingeführt zu haben.— Für weitern Detail dieser von mir eingeführten neuen Behandlung derElementar-Geometrie vgl. meine bereits citierte Schrift von 1841.

55« Das Dreieck. — Auf das Dreieck lassen sich zunächstunmittelbar die (54) für das Vieleck erhaltenen allgemeinen Sätzeübertragen: Da es nur der Form (0,1) fähig ist, beträgt seineWinkelsumme beständig zwei Rechte, und es ist jeder Drehwinkeloder Aussenwinkel gleich der Summe der zwei gegenüberliegenden