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— Einige Vorkemitnisse aus der Geometrie.

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1806 in 8., — E. Gruhl, Analytische Geometrie der Ebene. Berlin 1873 in 8.,— II. Ganter und F. Rudio , Die Elemente der analytischen Geometrie derEbene. Leipzig 1888 in 8., — etc.“

“JO. Die Krüminungsveiliiiltni.sse der Kurven. — Unterden Aufgaben, mit welchen sich die Geometer des 17. Jahrhundertsvorzugsweise beschäftigten, nahm das sog. Tangentenproblem, d. h.das Auffinden von Vorschriften, um in einem Punkte x', y' einerKurve y = f (x) eine sich dieser möglichst anschliessende Gerade zuziehen, eine hervorragende Stellung ein und wurde von ihnen in ver-schiedener Weise, namentlich so gelöst, dass für die Tangente dieGleichung

y — y' = p (x — x') wo p = dy': dx' = f' (x) I

aufgestellt wurde, aus welcher sich dann sofort (69:8) für die imBerührungspunkte zu ihr gezogene Senkrechte, die sog. Normale,die Gleichung y _ y ' = — ( x _ x '): p 8

ergiebt, während die Formeln

Tang. = y' • Fl + p 8 : pSubt. = y': p

y'-Fl + p'

Norm. = y' • FSühn. = y' ■ p

,2

die zwischen Berührungspunkt und Axe liegenden Stücke vonTangente und Normale, sowie deren Projektionen auf die Axe er-geben ". — Um sodann ausser der durch die Tangente gegebenenRichtung der Krümmung auch ein Mass für ihren Betrag zu er-halten, wurde etwas später noch von einem Punkte der Normaleaus ein sich möglichst an die Kurve anschliessender Kreis, der sog.Krümmungskreis, gezogen, dessen Radius offenbar das Gewünschtegab, und zwar fand man, dass sich nach

lc • f' (x)

wo k

die Coordinaten A und B des Mittelpunktes dieses Kreises, sowiedessen Radius R berechnen lassen h . — Der Ort des Krümmungs-mittelpunktes einer Kurve heisst Evolute dieser letztem, — die-jenige Kurve, welche eine gegebene Linie zur Evolute hat, Evolventederselben c .

Xu SO: ff. Legen wir durch x' y‘ und einen benachbarten Kurvenpunktx" y" eine Gerade, so besteht für letztere linsere (j'J : 5, und diese geht, wennder zweite Punkt dem ersten unendlich nahe rückt, also die Seeante zurTangente wird, in unsere 1 über. — Die historische Entwicklung lässt sichetwa wie folgt resümieren: Schon Descartes löste das Tangentenproblem inmehrfacher, namentlich aber in der Weise, dass er, von einem beliebigenPunkte der Axe aus, einen die Kurve schneidenden Kreis oder auch eine sieschneidende Gerade zog und dann den Radius des Kreises oder die Lage derGeraden so abänderte, dass die beiden Schnittpunkte zusammenflelen, wodurch