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Die Kriimmnngsverhältnisse (1er Kurven.

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er in letztem Palle direkt die Tangente, in erstem Palle aber zunächst, dieNormale und durch sie die Tangente erhielt, — jedoch offenbar nicht in einemgegebenen, sondern in einem von der Annahme abhängigen Punkte, so dassseine Lösung noch etwas unvollkommen war. — Dagegen schlug Fermat folgenden, bereits die Principien der Infinitesimalrechnung involvierenden Weg

ein: Soll die Gerade AB die Kurve in einemPunkte M der Ooordinaten x, y berühren,und vermehrt oder vermindert man x umeine kleine Grösse e, so ist die neue Ordinatey' der Kurve in beiden Fällen kleiner, oderin beiden Pallen grösser als die bis an ABreichende Senkrechte, so dass allgemein ent-weder «:(« j-e)<y:y‘ oder k:(« j-e)>y:y‘ist. Für die nächste Nähe des Berührungspunktes verschwindet jedoch dieserUnterschied bis auf ein Minimum und man kann daher für ihn selbst in beidenFällen „

oder

" = y • y i _ y = y : p

__y.

« + e y'

setzen, d. h. entsprechend 3 die Subtangente und damit die Tangente be-stimmen. Hat man z. B. eine Kurve der Gleichung y 2 = m-x, so erhält man

nach 5' sofort « 2 : (« -j e) 2

• x: m (x + e) oder « 2 = x(2« -f e), woraus, für

e = o , « = 2x folgt. — In verwandter Weise ging später auch Newton (vgl.

pag. 49 der Buffon’schen Übers, von

1740) vor: Er verlängerte das Kurven -element Mm bis zum Durchschnitte Amit der Axe, — erhielt so die Pro-portion

« : y = x : y oder « = y • x : y = y : p «

und bestimmte nun das Verhältnis p seiner sog. Flexionen y und x aus derGleichung der Kurve, wodurch er ebenfalls die Subtangente erhielt. — Einenganz eigentümlichen" Weg schlug endlich Roberval ein, indem er in seinen„Observations snr la composition des mouvements et sur le moyen de tronverles touchantes des lignes courbes (Anc. Mem. Paris VI)“ als „Axiome on prin-cipe d’invent.ion“ den Satz aufstellte: „La direction du mouvement d’un point,qui decrit une ligne courbe, est la touchante de la ligne courbe en chaqnePosition de ce point la“, und ihm als „Rfegle generale“ die Vorschrift bei-fügte: „Par les proprietes specifiques de la ligne courbe examinez les diversmouvements qu’ä le point qui la decrit ä l’ehdroit oü vous voulez mener latouchante: tous ces mouvements composez en nn senl, tirez la ligne de direc-tion du mouvement compose , vous aurez la touchante de la ligne courbe“.

Er wandte diese Regel auf 13 Beispielean, von welchen hier zur Illustrationdie Nro. 1 folgen mag: Bezeichnet Aden Anfangspunkt der Ooordinaten undsind B und P zwei von ihm equidistantePunkte der Axe, so zieht Roberval eineFolge von Senkrechten ,TE zu dieserletztem und schneidet auf jeder der-selben von P aus mit dem zugehörigenB.T ein, wodurch er eine Folge von