194

— Einige Vorkemitnisse aus der Geometrie. —

n

d. h. eine Gerade, eine sog. Axe. Setzt man in dieser Gleichungstatt « den Faktor von u, so erhält man für die Axe aller zu derersten Axe parallelen Sehnen

t = « • u -f- M 1

so dass die neue Axe ein Element des ersten Sehnensystemes ist.Zwei solche Axen oder Sehnensysteme heissen konjugiert und ihrWinkel p, ist (69 : 7) durch

Tg /j = 2 ^ a ba ® a

b (1 - «*) + 2 (abestimmt. Für p = 90°, d. h. füra — c + k

C)'

w t o k — l^(a — c ) 2 -f- b 2

9

nennt man die konjugierten Axen Hauptaxen, und es giebt nur EinPaar solcher, da sich das Doppelzeichen auf beide Axen, nicht aufzwei Paare bezieht. Für den Durchschnittspunkt zweier Axen abererhält man nach 6 und 69 : 7 die von a unabhängigen Coordinaten2ae — bd ^ 2cd — be

wo g

B:

b 2 — 4ac 1.0

g _ g

Es schneiden sich somit alle Axen in demselben Punkte, dem sog.

Mittelpunkte. — Verlegt man den Anfangspunkt der Coordinaten in

den Mittelpunkt und dreht die Abscissenaxe in die Richtung der

einen Hauptaxe, d. li. setzt man in 69:2

Si 2

c-k

1»

h

a— c

und führt noch h — h • d ■ eein, so verwandelt sich 1 in

ft — A Tg (p —ß= B Tg2</ -

<P

Co 2

( p

k — a -f- c

' 2 k.

k + a — c.

2 k

c • d 2

Si 2 f/ >

Co 2 tf

__ b

k

a — c

ls

a • e~

11

1»

y 2

1 wo a 2

2 (h - fg)

2 (li - fg)

13

X - .4- _ v _

a 2 b 2 g (a -f- c — k) g (a -f- c -)- k)

so dass die Linien zweiten Grades nach beiden Axen symmetrischund die in die Hauptaxen fallenden Sehnen, die grosse und diekleine Axe, gleich 2a und 2 b sind“. — Diejenigen Punkte dergrossen Axe, welche von den Endpunkten oder Scheiteln der kleinenAxe um die halbe grosse Axe abstehen, heissen Brennpunkte'' undihre Entfernung a-e vom Mittelpunkte Excentricität, so dass dieBeziehungen

b 2 « . g , P b 2 1 / 2 (l g — h7 f j.

V (a + c

e*

1-

:1 +

(a+c-t-k) 4

■A

wo p =

b 2

a

-k) a

bestehen c . Für x = ae wird y = p, d. h. der sog. Parameter pist gleich der Ordinate im Brennpunkte a . Umgekehrt hat man