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— Der Punkt der mittlern Entfernungen. —

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Xii 7 3: «. Mit Hilfe von 1 und 69: 14 hat man nämlich4-l’m = [d—x-Si(l,x)4-y-Co(l,x)]-2'm = d-2‘ , m —Si(l,x)2 1 mx + Co(l,x)l'mj'= 2 1 m fd — x • Si (1, x) |- y ■ Co (1, x)] = 2’ m • 8womit der ausgesprochene Satz bewiesen ist. — ft. Der Schwerpunkt wurdedurch „Carnot, Geometrie de position. Paris 1803 in 4.“ in die Geometrie ein-geführt, ist dann aber namentlich durch die Arbeiten von Steiner für dieselbewichtig geworden. — c. Da offenbar einerseits

2'm e 2 = 2'm[(x—a) 2 + (y -b) 2 ] = 2'm(x 2 f y 2 )-2a2'mx--2b2'my + (a 2 -l-b 2 )2’mund anderseits, weil nach der gemachten Annahme die Axen Schweraxen sind,2’ m x = 0 und 2 1 m y = 0, so ergiebt sich 2 sofort. — Die durch 2 aus-gedrückte Eigenschaft des Schwerpunktes war schon Legendre bekannt undwurde von ihm (vgl. 52) zur Begründung der Methode der kleinsten Quadratebenutzt, — sonst aber nicht beachtet; dagegen hat sie Steiner mutmasslichneuerdings gefunden und dann so ausgiebige Anwendung davon auf die Geo-metrie gemacht, dass er ein grosses Anrecht darauf besitzt.

2 3. Diskussion der Gleichungen zweiten Grades zwi-schen zwei Variabein. — Da ans der allgemeinen Gleichungzweiten Grades

a • y 2 -f- b • xy -f- c • x 2 + d • y + e • x -j- f = 0 1

durch Differentiation

, b-y-l-2c-x~4-e n

dy -----.v- ' , 'vr.-dx 3

J b • x -f- 2a • y -f- d

folgt, so entspricht im allgemeinen jedem kleinen Zuwachse von xauch ein kleiner Zuwachs von y, und es stellt daher 1 eine Folgevon Punkten oder eine Linie dar, welche, da eine der Konstantendurch Division weggeschafft werden kann, durch 5 Punkte bestimmtsein muss. Eliminiert man aus 1 und der Gleichung einer Geraden

y = a • x -f- ß 3

die Grösse x, so findet man die Gleichung

y a [a « 2 I- b ci b c] -1- y | n (« d |- e) — ß (« b |- 2 c)J + [ cß 2 — aße a 2 fj — 0 4hnd es hat daher eine Gerade mit einer Linie zweiten Grades zweiPunkte, oder einen Doppelpunkt, oder gar keinen Punkt gemein:Im erstem Falle heisst sie Secante und ihr zwischen den beidenPunkten liegender Teil Sehne, — im zweiten Falle wird sieTangente genannt. — Bezeichnen u und t die Coordinaten der Mitteder Sehne, so hat man nach 3 und 4

+ _ ß («b + 2 c) — «(ad-pe) K

u + ß

und

2 (a a 2 b u -f- c)

Und eliminiert man hieraus ß, so erhält man für den Ort der Mittena Per um Atg « geneigten Sehnen

_ «b-f-2c _ ad + e_

b -f- 2a a U b + 2a a

Wolf, Handbuch der Astronomie. I. 13

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