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— Einige Vorkenntnisse aus (1er Mechanik. —
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Werte von F, G, II aus 93 substituiert und sodann tp und 0 eliminiert, fürTg tp auf eine Gleichung' dritten Grades führen, also immer eine möglicheLösung ergehen. Die den so bestimmten <p , 0 entsprechenden Axen sind
nun diejenigen, welche man Hauptaxen genannt hat, da sie nicht nur, wie dieVergleichung der 9 mit den 111:11 ohne weiteres ergiebt, freie Axen sind,sondern sich auch in Beziehung auf die, laut Definition offenbar durch A, B, bgegebenen Trägheitsmomente, auszeichnen: Bezeichnet man nämlich das Träg-heitsmoment, unsers Körpers in Beziehung auf irgend eine andere Axe, welcheman sich immer mit der nicht näher bestimmten Axe der Z zusammenfällenddenken kann, mit C', so erhält man mit Hilfe von 0 und 93:4, 5, 10, 17
C' = /(x 2 - J- y 2 ) • d m = / [ (a, x' + a, y‘ + a 3 z') 2 + (b, x' +1> 4 y' |-- t> 3 z') 2 ] d m —
= A • Si 2 0 Si 2 <f + B ■ Si' ä 0 Co 2 <p + 0 • Co 2 0 +
-j- P • Co tp Si 20 — G • Si tp Si 2 0 -j- 11 ■ Si 2 tp Si 2 0 1 ®
Sind aber die Axen X'Y‘Z‘ Hauptaxen, so bestehen die 9 und man hat dahermit Hilfe von 93: 5
d. h. es besteht das merkwürdige Gesetz, dass, wenn man jedes der den Haupt'axen entsprechenden Trägheitsmomente mit dem Cosinusqnadrate des WinkeBmultipliziert, welchen die betreffende Hauptaxe mit irgend einer andern Ax®bildet, die Summe der Produkte das dieser letztem entsprechende Trägheits-moment, giebt. Ist sodann z. B. A > B > C, so folgt aus 1 1 offenbarC' < A (Si 2 0 Si 2 , P 1- Si 2 0 Co 2 <p + Co 2 ö) = AC‘ > C (Si 2 0 Si 2 v + Si 2 0 Co 2 <p + Co 2 0) = Cd. h. die oben ausgesprochene Haupteigenschaft der Hauptaxen. — b. .Tob-Andreas Segner (Pressburg 1704 — Halle 1777; Prof, pliys. et math. Göttinge* 1und Halle) gab, als eine Art Nachtrag zu „Euler , Recherches sur la precessi® 11des eqninoxes et sur la nutation de Taxe de la terre (Mem. Berl. 1749—60)und unter „Turbo“ einen sich um eine Axe drehenden Körper verstehend, 111seinem „Specimen theorhe turbinum“. Halm 1755 in 4.“ eine erste Theorie d erfreien Axen und Hauptaxen, welche sodann Euler in seinen „Recherches si' rla connaissance meoaniqne des corps (Mem. Berl. 1758)“ weiter ausfühi-te nnflverallgemeinerte. — c, Piir ein homogenes Ellipsoid, dessen Axen 2a, 2h, 2 Cmit den Cloordinatenaxen znsammenfallen, werden die drei Integrale P, G, ^notwendig gleich Null, weil sich zu jedem der in ihnen begriffenen Elementeimmer ein gleich grosses, entgegengesetzt liegendes findet. Es fallen aD°die geometrischen Axen mit den Hauptaxen zusammen und zugleich lasse 11sich in diesem Falle die Integrale A, B, C verhältnismässig leicht berechne 11 ’
wobei man 1 , 2 .
A = -—
■ M
B =
a 2 + c 2
•M
a 2 -|-b 2
M
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findet,, sofern M der Masse */ 3 a • b • c • n ■ i> des Ellipsoides entspricht; wen* 1daher a<b<c, so ist A>B>0. Etc. — <1. Die Geschwindigkeiten dx:*!*’<ly: dt, dz: dt des Elementes dm zur Zeit t nach den Axen sind offenbar f® 1alle Punkte des Körpers, welche während des Zeitelementes (1t ruhen, gle 10 ^Null, und wenn wir daher (93: 4)
x'-da, + y'- da., -t- z 1 ■ (la 3 =x'■ db, + y 1 -dh. 2 4 z‘-(lb 3 =x'-dC| 4 y'-dc 2 -f z 1 -(lc 3 = 0 1 ■*setzen und aus diesen Gleichungen x', y 1 , z 1 ausrechnen, so erhalten wir ( h eCoordinaten dieser ruhenden Punkte. Multiplizieren wir aber die 13 der Reil> e