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— Einige Yorkenntnisse aus der Mechanik.
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Es hat also der Punkt beim Fallen von M nach N genau dieselbe Geschwindig-keit erhalten, welche er (111:2) beim freien Falle durch dieselbe Höhe er-reicht hätte, und überdies muss (112:1) die Gleichheit
ds * ./=—■ .. ds „
|/2g(« —x} = —
dt
oder
1 2 g • dt = —
y u — x
bestehen, welche man, wenn t die zum Falle von M nach S nötige Zeit be-zeichnet, auch durch
1
«* ..
t = f X ■ u • d x wo u = j/l -|- und X 3
’o r dx 2g («— x)
ist, ersetzen kann. Für die Brachystochrone muss nun t einen Minimumswerterhalten, so dass, falls t' und u' die Werte bezeichnen, welche t und u an-nehmen, wenn y für eine andere Verbindung von M und S in y-(-i'dy über-geht, beständig »
t' — t = j”x • (u‘ — u) • dx 4
'o
einen positiven Wert erhält, wobei i als eine unendlich kleine konstante Grössezu denken ist, dy aber als eine willkürliche Funktion von x, welche bloss derBedingung genügen muss, sowohl für x = 0 als-für x = « zu verschwinden.Denkt man sich nun u' — u in eine nach den Potenzen von i fortschreitendeReihe entwickelt, und ist das erste Glied dieser Reihe gleich i-du, so istdas erste, das Vorzeichen bestimmende Glied in 4 offenbar i/X-dudx, undes muss daher dieses Integral verschwinden, da sonst t' — t mit i das Vor-zeichen wechseln würde. Anderseits hat man, wenn
-j“ = w also u = j/l + w 4 = f (w) und ( ^ U w
gesetzt wird, nach dem Taylor’sclien Lehrsätze
dw
n' = f (w + ialso muss
ddy
dx
du =
u + iddy dy
_|JJy
dx
dud w
d x. d xsein, folglich auch (45 : 4)
«
und
o=r x .‘
J U (0 .
X dyn d xdx
“ « ,i
dy
dx
• ddydx
ddy
dx
dy
dx
dx
• d y ■ d x
Nun ist das erste Glied Null, da dy an beiden Grenzen verschwindet, unddas zweite kann, da dy eine willkürliche Funktion von x ist, nur Null werden,
X . dy Iu d x J
= 0
oder
X
dx
C
Tx = c ' 8 ~ ^+ d x2 üder d y :
dx u
ist, wo C eine Konstante bezeichnet, also muss
C (<c — x) |/2g • dxj/(« — x) —- 2 g C 4 • (« — x) 2sein. Führt man y = ß —x' und x = «— y' ein, rl. • h. verlegt man denAnfangspunkt nach M und bezieht sich auf eine horizontale Axe, so geht derletzte Ausdruck in
y'-dy' 1 -
— - WO v = ---- m *
V‘2y ■ y' — y' 4 4gC-
ist, über. Da nun dieser Ausdruck einerseits offenbar die Differentialgleichung
dx'