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— Die Brachystochrone und Isochrone. —

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der Brachystochrone ist und anderseits aus den Beziehungen an der gemeinenCykloide (80 : 7, 3)

d x — y • d v -

I“ ay — y‘

y • 'ly

a • Si v

yiy

folgt, so ist der Beweis geleistet, dass die Brachystochrone eine gemeineCykloide ist, deren Anfangspunkt in II liegt und für welche y den Radius deserzeugenden Kreises darstellt. — c. Wird der schwere Punkt z. B. in M' aufdie Cykloidenbahn gelegt, so braucht er eine gewisse Zeit t, um durch denBogen H' S = s oder durch die Höhe h zu fallen, und zwar erhält man einer-seits nach 80: 6, 3 und anderseits nach unserer 2 successive die Beziehungen

s = MS — MM' = 4a - 8a Si 2 A

4

4 a Co y

(1 -)- Co v) = 8 a (2 a — y 1 ) =

= 8ax

s ■ d s —

, 4 a • d x d x

ds — ,,

s Co V 2

- = (I X •V

1 . , ClS - • -V ll — X

- dx

-l/2a .

(/hx —x 2

aus deren letzter nach 46:9

^gl*“

(- 1) — Aai (+1)

-•|/j

6

folgt. Es ist also wirklich, wie schon Huygens fand, die Fallzoit von derFallhöhe, oder also von der Wahl des Punktes M', unabhängig.

116 . Die Anziehung des Ellipsoides. — Als ferneres Bei-spiel gebe ich die Bestimmung der Anziehung eines homogenenEllipsoides auf einen Punkt, wobei die beiden Fälle, wo letztererinnerhalb oder ausserhalb des anziehenden Ellipsoides liegt, unter-schieden werden müssen: Liegt der Punkt innerhalb, so ergiebtsieh der wichtige Satz, dass nur diejenige Masse des Ellipsoides inBetracht fällt, welche innerhalb des durch den Punkt gelegten ähn-lichen Ellipsoides liegt", — und mit Hilfe der hei seiner Ableitungerhaltenen Beziehungen lassen sich z. B. die für uns besonderswichtigen Wirkungen eines an den Polen abgeplatteten Rotations-ellipsoides durch bequeme Formeln darstellen b . Durch weitere Rech-nungen findet man sodann den merkwürdigen Hilfssatz, dass, wennzwei homogene Ellipsoide denselben Mittelpunkt und dieselbenBrennpunkte haben, die Anziehung, welche das eine längs irgendeiner der Axen auf einen Punkt der Oberfläche des andern ausübt,sich zu der Anziehung des andern nach dieser Axe auf den korre-spondierenden Punkt des erstem ebenso verhält, wie sich die Pro-dukte der zwei übrigen Axen verhalten c . Dieser nach Ivory be-nannte Hilfssatz führt nun offenbar den Fall des äussern Punktesin einfachster Weise auf denjenigen des innern Punktes zurück dund es ist somit unser Problem vollständig erledigt e .