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nombres qu’on évite, en décomposant la strrfaceproposée comme le montre \efiç. 20. On prend d’a-bord la surface du rectangle ABCD , dont les côtésAC et AD sont respectivement de 5 toises et de 6toises ; ce qui donne 3 o toises carrées. Il reste à éva-leur le rectangle BCEF , qui a 5 toises de long sur4 pieds de large ; le rectangle CDG H, qui a 6 toisesde longueur sur 2 pieds de largeur ; enfin le rec-tangle CEIH, qui a 4 pieds de longueur sur 2 piedsde largeur. Le premier de ces 3 rectangles s’obtienten multipliant 5 toises par 4 pieds qui sont les j d’unetoise: il en résulte donc les ^ de 5 toises carrées, ou3 toises carrées et i, ou 3 toises carrées et 12 piedscarrés. Le rectangle CDGII a pour mesure 6 toises,multipliées par 2 pieds, ou par j de toise ; ce qui pro-duit 2 toises carrées. Enfin, le rectangle CEIH, dontla longueur est de 4 pieds et la largeur de 2, donne8 pieds carrés. En réunissant les 4 nombres :

3 o toises c.

3 'toises c. 12p. c.2 »

» 8

On trouve, comme ci-dessus, 35

20

Cet exemple suffira à ceux qui possèdent le calculdes fractions, ou des parties aliquotes , pour lesmettre en état d’opérer sur des nombres quelcon-ques. L’usage des mesures décimales simplifie beau-coup ces sortes de calculs, ainsi qu’on le verra àl’art, mesure.

27. On ne doit pas confondre les rapports desèôtés des figures avec ceux de leurs surfaces. Lors-qu’on énonce, par exemple, 6 pieds en carré et 6pieds carrés, la première surface , qui est la toisecaïrée , ayant 6 pieds de longueur sur autant delargeur , contient 36 pieds carrés, tandis que l’autresurface est seulement équivalente à 6 de ces pieds.

De même, quand on double la longueur des côtésd’un carré , on le rend 4 fois plus grand qu’il n’é-tait d’abord, puisque , s’il avait 1 pied de côté, ilen acquiert 2 , et son aire contient par conséquent4 pieds carrés.

28. La mesure du rectangle fait trouver aisémentcelle des triangles. Parmi ces derniers, je considé-rerai d’abord ceux qui ont deux côtés perpendicu-laires , et tju’on nomme à cause de cela triangles rec-tangles. T.el est le triangle ABC de la fg. 23 , danslequel le côté CB est perpendiculaire sur le côté AB,et l’angle B est par conséquent droit.

Si l’on conçoit par le point A la ligne AD paral-lèle à BC, et par le point C la ligne DC parallèle àAB, on formera un rectangle ABCD, dont le trian-gle ABC sera évidemment la moitié. Ce rectangleaura pour mesure le produit de sa longueur AB parsa largeur BC. ( V. ci-dessus, n°. 23 .) Le triangleABC, qui en est la moitié, aura donc pour mesurela moitié du produit de ses deux côtés perpendicu-laires AB et BC, ou, ce qui revient au même, leproduit de l'un d’eux par la moitié de l’autre. AB,par exemple, étant égal à 7 unités, et BC à 4 ) °naura 2 fois 7 ou 14 pour la surface du triangle ABC.

Hntriangle quelconque peut toujours être ramenéà deux triangles rectangles, en abaissant de l’un de

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ses angles une perpendiculaire sur le côté opposé ;ce qui présente deux cas, selon que la perpendicu-laire tombe en dedans du triangle, comme dans lafig. 24, ou en dehors, comme dans la fg. 2.5.

Cela posé, le triangle AD C, fg. 24, étant rec-tangle en D, aura pour mesure, d’après ce qui vientd’ètre dit, le produit de AD par la moitié de DC ;de même le triangle BDC aura pour mesure le pro-duit de BD par la moitié de DC : en ajoutant cesproduits , on aura la surface du triangle proposéABC, puisqu’il est la réunion des deux autres. Il està remarquer que ces produits étant formés avec unmultiplicateur commun, qui est la moitié de DC,on en trouverait immédiatement la somme en pre-nant pour multiplicande la somme des multipli-candes partiels AD et BD, c’est-à-dire le côté ABtout entier. En supposant que AB contienne 14 uni-tés , et DC , 8 , on aura donc 4 fois 14 , ou 56 , pourla surface du triangle.

Dans la fg. 25 , le calcul des triangles rectanglesADC et BDC est encore le même; mais au iieud’ajouter les produits, il faut les retrancher, parceque le triangle proposé ABC est l’excès du triangleÀDC sur le triangle BDC. Au lieu de multiplier sé-parément AD et DB par la moitié de DC, pour re-trancher ensuite le second produit du premier, onpourra prendre d’abord l’excès de AD sur BD , quiest précisément le côté AB, pour le multiplier parla moitié de CD. Le côté AB contenant G unités,par exemple, et DC, 8 , on aura 4 fois 6 , ou 24 uni-tés carrées pour la surface du triangle ABC.

Le côté du triangle sur lequel on abaisse la per-pendiculaire se nomme base , et la perpendiculairehauteur. On voit donc, d’après ce qui précède, quela mesure de la surface d’un triangle est le produitde sa base par la moitié de sa hauteur.

29. Des triangles on passe aux parallélogrammes.En tirant dans le parallélogramme ABCD , fig. 26,de l’un des angles à son opposé, une ligne AC, quel’on nomme diagonale , on partage ce parallélo-gramme en deux triangles qui sont visiblementégaux; l’un d’eux, le triangle ABC, par exemple,a pour mesure, d’après le n°. précédent, la moitiédu produit de sa base AB par sa hauteur CE : le pa-rallélogramme, étant double du triangle, aura Joncpour mesure ce produit tout eutier.

Il faut observer cjue la perpendiculaire CE marquela hauteur du parallélogramme , et que donnantalors au côté AB le nom de base , on dit que l 'aired’un parallélogramme est égale au produit de sabase par sa hauteur.

3 0. Dans les quadrilatères, on distingue encor»le trapèze , qui n’a que deux côtés parallèles : ABCD,

fig. 27, est un trapèze. On le partage en deux trian-gles, an tirant une diagonale AC. Le triangle ABCa pour mesure AB multiplié par la moitié de EC, etle triangle ACD, CD multiplié par la moitié de AF ;mais AF est évidemment égal à CE , à cause du pa-rallélisme des lignes AB et CD : le multiplicateursera donc le même dans les deux produits, et l’onaura par conséquent la somme de ces produits, oul’aire du trapèze , en multipliant tout de suite lasomme des multiplicandes CD et AB, par le multi-plicateur commun, quiestla moitié de la hauteur CE.