CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES.

<l»i :), croissent indéfiniment avec u, forment une somme infini-ment petite.

Réunissons dans l’expression primitive ( 38 ) de ’z('-) les deux(acteurs qui répondent à deux valeurs de p égales et de signesopposés, et écrivons

I qPz -+- q-P z-')(q-P z -f- qPz~') = q~*P( I — q t Pz 1 )( i -±- q î Pz~ i ).

Il résulte de là

o(-) = q-t-P(z — ~<)II(i -f- q’-Pz^ q*P z~-).

P = I, 2 , 3, ..;jl;

ou bien, comme 2 'Hp est égal à p(u. — i),

C *!*(;) = (; — j~>)H(r qV>z'-)\](\ -i-g*Pz-*).

Quand on suppose u infini, le numérateur de C devient égal àl’unité; nous avons donc

(z n(i — <7^5)11(1 - - q’-Pz-î) n(i — q'-P) = <!>,(;),

/'> = '» 2, 3, ...,oc.

Si l’on multiplie ( I>,(:;) par q % et qu’on pose, en outre,

z = e ‘K*’,

ou retrouve alors la série (VIII, 22)

.9

P = q * <!>[ (z) = iq’' COS P - — iq i COs3r~ -

{-<*/’ + *)« . .-r- t.q COS(2 p -+- l)P

Mettant, de même, e au lieu de - dans le produit et réunissantles termes deux à deux, nous obtenons

)] | (' Ç m )>

v = 9 . q * cos v

cos 1 c

m = >., 4 • . • •, 'i- , ..

, -f- :c.