CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQl ES.

Sur la racine réelle de l’équation âi(|> i/x) = °*

En discutant, dans le Chapitre VIII, la marche de la fonctionS,, nous avons reconnu qu’il s’v présente deux cas très différentsquand q est une quantité purement imaginaire. La distinction deces deux cas est fondée sur la considération des racines réelles xde l’équation £?’ (i, i\fx) = o, et nous avons annoncé (p. 287)(pie, dans le présent Chapitre, on trouverait démontrée l'existenced’une et d’une seule racine réelle, comprise entre zéro et 1 n-nité. C’est de la série ( 33 ) que nous allons tirer cette démonstra-tion.

Prenant la dérivée, par rapport à it, dans les deux membres ( 33 ),faisant ensuite = [mis observant que Sf, (£) est nul, nous obte-nons

i S "i(ï) X'' »(— </*)"

Mettons q/x au lieu de q , remplaçons le premier membre parzéro et développons la série; nous transformons ainsi l’équationdont il s’agit (VIII, 72) en celle autre

x 2 r 2 3:r 3 _i_ _ I

1 — x i — x- 1 -r- x* 1 — ,r l 1 K

Quand x croît de zéro à l’unité, chaque terme du premiermembre croît constamment. Le premier membre, où tous lestermes sont additifs, croît donc constamment de zéro à l’infini ; ilpasse une fois et une seule par la valeur numérique du secondmembre. C’est ce qu’il fallait prouver.

Pour le calcul numérique de la racine x, la forme trouvée auChapitre VIII est plus avantageuse.

Développement de log ■iu et de log ïju.

On peut obtenir le développement de log i 11 en intégrant lesdeux membres de la formule ( 3 i), ce qui n’offre aucune difficulté :