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Zahlen Glieder von Reihen, nannten solche Reihenglieder oqolund besassen vermuthlich in dem Worte exfreaig auch einen Namenfür den Begriff von Reihe selbst 1 ). Auch diese Thatsache kannuns nicht in Erstaunen setzen, nachdem die Kenutniss der arith-metischen wie der geometrischen Reihe bei Aegyptern und Baby-loniern, die* Kenutniss der Summenformel für arithmetische Reihenmit Gewissheit, für geometrische Reihen als Möglichkeit bei denAegyptern festgestellt werden konnte.
Mit den Reihen der graden und ungraden Zahlen wurden beiden Griechen — wir behaupten bei den Pythagoräern — nach den Zeug-nissen des Tlieon von Smyrna mannigfache Summirungen vorgenommen.Man addirte die sämmtliclien auf einanderfolgenden Zahlen der natür-lichen Zahlenfolge von der 1 bis zu einem beliebig gewühlten End-
gliede und fand l-j-2-f-3-}-...-f _M = ^ die Dreiecks-
zahl.'Q Man addirte die ungraden Zahlen für sich und fand 1 -f- 3-f- 5 -f- ... -f- (2 n — 1 ) = n l die Quadratzahl, zu deren Erklärungman eben diese Entstehungsweise benutzte. * 3 ) Man addirte die gradenZahlen für sich, und fand 2 -j- 4 -f- 6 + • • • + 2 n = n (n + 1) dieheteromeke Zahl, 4 ) d. li. das Produkt zweier Faktoren, dereneiner um die Einheit grösser ist als der andere, und welches ebendieses Grössersein der einen Zahl in seinen Namen aufnahm.
Wir haben hier arithmetische Erklärungen und Lehrsätse denPythagoräern überwuesen, welche trptz ihres Vorkommens bei Tlieonvon Smyrna, trotz der von uns vorausgeschickten allgemeinen Recht-fertigung der Benutzbarkeit seines Werkes für diese weit zurückliegendeZeit, einigermassen stutzig machen könnten. Da wir in unserenFolgerungen noch w r eiter zu gehen gedenken, so dürfte es nicht un-zweckmässig sein, andere Beweisgründe für die Richtigkeit unsererAnnahme hier einzuschalten, welche ein bedeutend älterer Schriftstellervon allseitig anerkannter Zuverlässigkeit, mit einem Worte, welcheAristoteles uns liefert. In dessen Metaphysik 5 ) finden wir diesogenannte pythagoräische Kategorientafel, in welcher zehnPaar Grundgegensätze aufgezählt werden, die der pythagoräischenSchule angehört haben. Diese heissen 1. Grenze und Unbegrenztes;2. Ungrades und Grades; 3. Eines und Vieles; 4. Rechtes und Linkes;5. Männliches und Weibliches; 6. Ruhendes und Bewegtes; 7. Geradesund Krummes; 8. Licht und Finsterniss; 9. Gutes und Böses; 10. Quadratund Heteromekie. Wir erkennen in den beiden mit 2. und mit 10. be-zeichneten Paaren die Zusammengehörigkeit des Ungraden mit dtAn
’) Vergl: Bienayme in einer Notiz über zwei Stellen des Stobäus in den
Comptes Bendus der Pariser Akademie der Wissenschaften vom 3. October 1870-
apTheon Smyrnaeus (ed. Hiller) 31. 3 ) Ebenda 28. *) Ebenda 27 und 31.
5 ) Aristoteles , Metapliys. I, 5, 6 vergl. Zeller 1, 302, Anmerkg. 3.