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Quadrat , des Graden mit der Heteromekie, und sollte diese Zusammen-gehörigkeit nicht in der Entstehungsweise der Quadrate und derHeteromeken ihre vollgültige Begründung linden? Allerdings hat inan,wie wir sehen werden, eine andere Erklärung gesucht, wesshalb das10. Paar, dessen Vorhandensein unter allen Umständen einer Recht-fertigung bedarf, weil seine Gegensätze nicht so scharf und natürlichsind, wie die der neun anderen Paare, Aufnahme gefunden habe.Wir sind nicht gewillt, jene andere Erklärung schon jetzt geradezuzu verwerfen, aber noch weniger auf die unsrige zu verzichten.Konnte es doch in der Tafel der Grundgegensätze, auf welche alleErscheinungen zurückzuführen sind, nur erwünscht sein, durch einPaar sofort zwei wesentlich verschiedene Beziehungen dargestellt zuwissen. Ist doch überdies mindestens die Entstehung des Quadratsals Summe der mit der Einheit beginnenden ungraden Zahlen wiederdurch Aristoteles als echt pythagoräisch bezeugt.')
Aristoteles bedient sich dabei eines Wortes, welches für uns vongrosser und vielfacher Wichtigkeit ist, des Wortes Gnomon. W asist ein Gnomon? Wörtlich genommen ein Erkenner, und zwar be-deutete es zunächst einen Erkenner der Zeit, dann der senkrechtenStellung, welche der Stab, um als Schattenwerfer und StundenzeigerAnwendung finden zu können, einnehmen musste. So wurde dasWort allmälig aus einem Kunstausdrucke der praktischen Astronomiezu einem solchen der Geometrie, und man sagte „die nach demGnomon gerichtete Linie“ 2 ) wenn man von einer Senkrechten redenwollte. Der Sinn des Wortes veränderte sich aber nun noch weiter.Ein mechanisch herzustellender rechter Winkel (Figur 19) wurde so
- genannt, oder geometrisch ausgedrückt: Gnomon war
das, was von einem Quadrat übrig blieb, wenn ausdessen einer Ecke ein kleineres Quadrat herausge-schnitten wurde. Diese Bedeutung des Wortes war beidenPythagoräern gang und gebe. Den untrüglichenBeweis dafür liefert ein erhaltenes Bruchstück des
_ Philolaus , 3 ) eines Pythagoräers, dessen Lebenszeit
Fi s- 19 - so ziemlich gleichmässig von den Grenzen des Jahr-
hunderts zwischen 500 und 400 abstehen möchte, ln noch spätererZeit verschob sich die Bedeutung des Gnomon noch weiter. Euklid stellte um 300 die Definition auf, in einem Parallelogramme heisse einjedes der um die Diagonale herumliegenden Parallelogramme mitden beiden Ergänzungen zusammen ein Gnomon. 4 ) Der Sinn dieser
') Aristoteles, Physic. III, 4. Vergl. Zeller I, 300 Anmerkung undChaignet II, 61—62. a ) Proklus ed. Friedlein 283, 9. 3 ) Philolaus, desPythagoreers Lehren nebst den Bruchstücken seines Werkes von Aug. Böckh.Berlin , 1819, Fragment 18, S. 141. — Chaignet 1,240. J ) Euklid, Elemente-II,Definition 2.