Pytbngoras und die Pythagoräer. Arithmetik.

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im Wortlaute nicht allzudeutlichen Erklärung ist folgender. Werdenin einem Parallelogramme durch einen und denselben Punkt der Diago-nale Parallellinien zu den beiden Seiten gezogen, so entstehen (Figur 20)zwei in unserer Figur wagerecht schraf-firte Parallelogramme, und zwei in unsererFigur schräh schraffirte -Ergänzungsdrei-eckchen. Diese vier kleinen Figuren zu-sammen bilden das euklidische Gnomon, eineVerallgemeinerung des älteren Begriffes insofern, als ein Stück auseinem Parallelogramme statt aus einem Quadrate herausgeschnittenwird, um es hervorzubringen. Noch etwas allgemeiner wdrd dieErklärung, welche nach weiteren zwei Jahrhunderten Ileron vonAlexandria gab: Alles was zu einer Zahl oder Figur hinzugefügtdas Ganze dem ähnlich macht, zu welchem hinzugefügt worden war,heisst Gnomon. 1 ) Doch auch diese letzte Verallgemeinerung knüpftw r ieder an alte Begriffe an, indem schon Aristoteles sagt, wenn man einGnomon um ein Quadrat herumlege, werde zwar die Grösse, aber nichtdie Art der Figur verändert. 2 )

Nachdem wir erörtert haben, was ein Gnomon in der Geometriebedeute, ist der Zusatz wohl leicht verständlich, dass in alten Zeitendie ungrade Zahl auch wohl Gnomonzahl genannt wurde. Denkenwir uns nämlich ein Quadrat, dessen Seite n Längeneinheiten misst,und beabsichtigen wir dieses Quadrat zum nächstgrösseren mit derSeite von n -f- 1 Längeneinheiten durch Hinzufügung eines Gnomonzu ergänzen, so ist klar, dass dieses Gnomon bestehen wird aus einemQuadratchen von der Seite 1 und aus zw'ei Rechtecken von den Seiten 1und n, dass es also 1 -f- 2 x n Flächeneinheiten besitzen wird,welche in der Tliat die vorhandenen n 2 Flächeneinheiten des früherenQuadrates zii den (n -j- 1 f 2 Flächeneinheiten des neuen Quadrates er-gänzen. Das heisst in Zahlen: die Quadratzahl n 2 wird zur nächstenQuadratzahl (n -|- l) 2 , wenn man ihr die Gnomonzahl 2 n -j- 1 bei-fügt. So sind wir zum Verständniss der vor-

her angedeuteten Stelle der aristotelischen _

Physik gelangt 3 ), einem Verständniss, in wel-chem wir uns mit allen alten und neuen Er-

klärern zusammenfinden. Die Pythagoräer, __

sagt dort Aristoteles , hätten die Quadratzahlen !

gebildet, indem sie die Gnomonen allmälig zur \ r

Einheit hinzufügten. Das will eben Nichts !

O j |-

anders heissen als (Figur 21) die Pythagoräer

haben die Summirung 1 4- 3 -f 5+ ... 4- -- ~r. —--

_ oiii i Fig. 21.

') Heron Alexandrinus (ed. Hultsch) Definit. 59, pag. 21. 2 ) Aristo-teles , Categor. XIV, 5 und XI, 4. Vergl. Chaignet II, 62, Note 2. ■ 1 ) Aristo-teles Physic. III, 4.

Fig. 20.