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es eine dritte Fläche als geometrisches Mittel anzusetzen; sollen aberzwei Körper die äusseren Glieder einer geometrischen Proportion sein,so müsse man zwei von einander verschiedene innere Glieder annehmen,weil ein geometrisches Mittel nicht vorhanden sei. 1 )
Flächen und Körper können hier nur als Zahlen und zwar alsProdukte von zwei beziehungsweise von drei Faktoren angesehen werden.Das heisst mau wusste damals, dass im Allgemeinen das Maass einerFläche, eines Körpers gefunden werde, indem man zwei, drei Ab-messungen mit einander vervielfältige. Die Erklärung von Flächen-und Körperzahlen als solcher Produkte ist ausgesprochen bei Euklid 2 ),sie ist ausgesprochen bei Tlieon von Smyrna. 3 ) Beide bedienen sichder Namen ccgi&pol tniittöoi für die Flächen-, clgt&pol öngsoi fürdie Körperzahlen, und der pythagoräisehe Ursprung derselben beweistsich aus der eben hervorgehobenen Thatsache, dass nur mit ihrerHilfe die Timäusstelle zur Klarheit gelangt. Denken wir uns p i p i 2ha ' s se chs Primzahlen und jedenfalls keine von den Primzahlen peiner Primzahl^ gleich. Nun ist p { p 2 eine Flächenzahl, (f, q., einezweite. Deren geometrisches Mittel lässt sich bilden, d. h. pjhP’Siist rational ausziehbar, sofern p t =2h l, ud zugleich q l = q,. Diegefundene Proportion heisst unter Weglassung der in diesem Falleunnöthig gewordenen Indices pi l : p q =p q : q 2 und es genügte wirk-lich eine dritte Fläche als geometrisches Mittel anzusetzen, um mitden angegebenen beiden Flächen eine geometrische Proportion zubilden, deren äussere Glieder sie sein sollten. Körperzahlen werdenferner sowohl 2 } i‘2h'lh !l l s üfi ’ t/i ’ 2s- D eren geometrisches MittelVVtPtlhqi ( EJh Ist a her nie rational, wenn die Vorschrift keineinem q gleich werden zu lassen eingehalten wird, mögen die p unddie q je unter sich gleich oder verschieden sein. Durch zwei Mittel-glieder dagegen lässt sich die Proportion in mannigfaltiger Weise
ergänzen z. B. 2>tP 2 2h : l>\lh2i = IShP 2 - <1\ Wh oder Ihlhlh-P\Pi ( h= q\ (GlZa u - s - w - I m Timäus heisst das so: Sollten zwei
Körper die äusseren Glieder einer geometrischen Proportion sein, somusste man zwei von einander verschiedene innere Glieder annehmen,weil ein geometrisches Mittel nicht vorhanden ist. Werden hier die pund die q wieder alle als gleich betrachtet und lässt man desshalb dieIndices wieder weg, so entsteht q =2 ) q 2 '-q 3 oder 2> 3 -2 ) q 2= l }i q : 2 3 -Eine andere Auswahl von Mittelgliedern gibt es in diesem besonderenFalle nicht. Grade er hat sich auch anderweitig erhalten. Euklid
') Etudes sur le Timee de Platon par Tb. H. Martin I, 91 und 337—345und-Ilultsch in Fleckeisen und Masius, Keue Jahrbücher für Philologieund Pädagogik. Jahrgang 1873. Bd. 107, 493—501. *) Euklid VII, Defini-tionen lfi und 17. 3 ) Tlieon Smyrnaeus (ed. Hiller), pag. 36—37 und
häufiger.