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Kapitel VI.

beweist, dass zwischen zwei Quadratzahlen eine, zwischen zwei Kubik-zalden zwei mittlere Proportionalen fallen') und Nikomachus nenntdiese beiden Sätze ausdrücklich platonisch 2 ), ohne Zweifel inBerücksichtigung der damals allgemein bekannten Timäusstelle.

Eben diese Stelle hat bei der ausführlicheren Besprechung nocherhöhte Bedeutsamkeit für uns gewonnen. Zwei wichtige Thatsaehengelangten dadurch zu unserem Bewusstsein, die eine dass der Begriffdes Irrationalen der Schule des Pythagoras angehörte, die anderedass dieselbe Schule sich viel mit Verhältnissen beschäftigte. Aufden ersteren Gegenstand kommen wir im nächsten Kapitel bei Ge-legenheit des pythagoräisclien Lehrsatzes zu reden. Von den Ver-hältnissen handeln wir sogleich.

Wir sind nicht auf die Timäusstelle allein angewiesen, um dieAnalogien und Mesotäten, das sind die griechischen Namen fürVerhältnisse und dabei auftretende Mittel, für die Pythagoräer inAnspruch zu nehmen. Ein bei Nikomachus aufbewahrtes Bruchstückdes Philol aus 3 ) lässt den Würfel die geometrische Har-monie genannt werden, weil seine sämmtlichen Abmessungen völliggleich unter einander und somit in vollständigem Einklänge seien.Dem entsprechend habe man den Namen harmonisches Ver-hältniss wegen der Aehnlichkeit mit der geometrischen Harmonieeingeführt. In der That spiegle sich dieses Verhältniss in jedemWürfel mit seinen 12 Kanten, 8 Ecken und 6 Flächen ab. Wirhaben kaum nothwendig diese Stelle noch zu erläutern und zu be-merken, dass 6, 8, 12 in stetigem harmonischen Verhältnisse stehen,

weil

l l_i_

6 8 8 12 '

Ein bei Porphyrius erhaltenes Bruchstück des PythagoräersArchytas 4 ) spricht nicht nur von dem arithmetischen, demgeometrischen und dem harmonischen Mittel, er definirtsie gradezu, und zwar die beiden ersten in der heute noch gebräuch-lichen Weise. Bei dem harmonischen Verhältnisse, fährt er fort, iiber-trifft das erste Glied das zweite um den gleichen Theil seiner selbst,wie dieses mittlere Glied das dritte um den Theil des dritten. InBuchstaben geschrieben heisst das: b ist harmonisches Mittel zwischen

a und c, wenn a = b -j- “■ und zugleich b = c + Wirklich folgt ausdiesen beiden Gleichungen “ ~ * = — und daraus — t = t — 4 -

° b — c c c b b a

') Euklid VIII, 11 und 12. *) Nicomackus, Eisagoge arithm. II, 24, 6

(ed. lloche), pag. 129. 3 ) Niconaaclius, Eisagoge arithm. II, 26, 2 (ed.

Hoche), pag. 135. Vergl. Boeckh, Philolaus fragm. 9, S. 87. Ckaignet 1,233.4 ) Porphyrius ad Ptolomaei Harmonie. Vergl. Gruppe, Ueber die Frag-mente des Archytas und der älteren Pythagoreer. Berlin , 1840,S. 94. ChaignetI,282-283.