142 Kapitel VI.
schäften unter den Pythagoräern von jeher als kennzeichnend fürdiese Schule galt. ')
Vollkommene Zahlen sind solche, welche wie 0, 28,496 derSumme ihrer aliquoten Theile gleich sind: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1+ 2 + 4 + 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + G2 + 124+ 248. Daneben unterscheidet man ilberschiessende undmangelhafte Zahlen, wenn die aliquoten Theile eine zu grossebeziehungsweise zu kleine Summe liefern, wie z. B. 12 < 1 —{— 2 —{— 3+ 4 + 6; 8 > 1 + 2 + 4. Euklid hat sich ausführlich mit denvollkommenen Zahlen beschäftigt. 2 ) Tlieon von Smyrna hat dendrei verschiedenen Gattungen seine Aufmerksamkeit zugewandt unddieselben als äpt+uol xileioi, vTtBQXEkeeoi, eU.lheis benannt. 3 ) Mankönnte demzufolge geneigt sein diese Begriffe als vorplatonische an-zuerkennen, wenn nicht ein kaum zu beseitigender Gegengrund vor-handen wäre. Plato versteht nämlich in einer berühmten Stelleseines Staates den Ausdruck vollkommene Zahl ganz anders 4 ) undAristoteles bezeichnet muthmasslich aus pythagoräischer Quelle dieZehn als vollkommene Zahl 5 ) wiederum nothwendig von einer ganzanderen Erklärung ausgehend. Diese beiden Gegenstände arith-metischer Grübelei werden wir daher am Sichersten zwar Pytha-goräern aber nicht solchen der alten Schule zuschreiben, sondernsolchen, die in viel späterer Zeit den Namen und zum Theil auchdie Forschungsweise derselben erneuerten.
Die Dreieckszahlen, sagten wir (S. 135) gestützt auf Theonvon Smyrna, wurden von den Pythagoräern gebildet, indem sie versuchs-weise die aufeinanderfolgenden Zahlen der mit 1 beginnenden natür-lichen Zahlenreihe addirten. In diesem Namen Dreieckszahl zeigtsich auf’s Neue der Hang zur figürlichen Versinnlichung der nachunserer heutigen Auffassung abstracten Zahlenbegriffe. Die auf-einanderfolgenden Zahlen nämlich durch gleich weit von einanderentfernte Punkte reihenweise unter einander zur Darstellung gebrachtbildeten Dreiecke, und dass man diese Versinnlichung wirklich vor-nahm, mag man zu ihr gelangt sein wie man wolle, dafür bürgt ebender Name Dreieckszahl, dptffpög xgCycovog. Es ist vielleicht wiinschens-werth noch von anderer Seite her zu bestätigen, dass wir hier wirk-lich Alterthümliches vor uns haben, und dazu sind wir in der Lage.Wenig Gewicht freilich legen wir für diese Riickdatirung auf denan sich interessanten von Plutarch uns erhaltenen Lehrsatz, dass diemit 8 vervielfachten und um 1 vermehrten Dreieckszahlen Quadrat-