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zahlen gaben ') d. li. dass 8 . — - -(- 1 = (2 n + l) 5 - Erheblicher
ist schon das, was Lucian uns erzählt. * 2 ) Pythagoras habe Einenzählen hassen. Dieser sagte: „1, 2,3,4“ worauf Pythagoras da-zwischen fuhr: Siehst du? Was du für 4 hältst, das ist 10 und einvollständiges Dreieck und unser Eidschwur! Hierin ist die lvennt-niss der Dreieckszahl 10 mit echt pythagoräischen Dingen in Ver-bindung gesetzt. Weit älter und dadurch noch überzeugender ist dasVorkommen des Begriffes wenn nicht des Wortes bei Aristoteles : DieEinen führen die Zahlen auf Figuren wie das Dreieck und Viereckzurück. 3 ) Kommt nun endlich noch hinzu, dass einem Schüler desSokrates und des Platon, dem Philippus Opuntius , bereits eineSchrift über vieleckige Zahlen zugeschrieben wird, welche er nebsteiner andern über Arithmetik bei Philipp von Macedonien verfassthaben soll'), so scheint uns damit der Beweis geliefert, dass wie dieQuadratzahl und ihre Entstehung aus den Ungraden, wie die hetero-meke Zahl und ihre Entstehung aus den Graden, so auch die Dreiecks-zahl und ihre Entstehung aus den unmittelbar auf einander folgendenZahlen bereits pythagoräisch gewesen sein müsse.
Bei diesen drei Summirungen von nach einfachen Gesetzen fort-schreitenden Zahlen blieb man aber, wie uns berichtet wird, nichtstehen. Man schrieb die Reihe der Quadratzahlen, von der 1 au,man schrieb darunter aber erst von der 3 anfangend die ungraden Zahlen,und wenn man nun jede solche ungrade Zahl der zugehörigen Quadrat-zahl als Gnomon zufügte, so entstanden wieder Quadratzahlen. 5 )Für uns heute fällt freilich diese Entstehungsweise:
1 4 9
3 5 7 .... 2 » + 1
4 9 1(5... (n + l) 2
mit der ersterläuterten Bildung der Quadratzahlen zusammen, aberden Alten war sie besonderer Hervorhebung werth. Nikomachus,ungefähr Zeitgenosse des Theon von Smyrna , und ihm geistesverwandt,hat ein Beispiel ähnlichen Verfahrens bei Dreieckszahlen uns bewahrt. 6 )Jede Dreieckszahl, sagt er, mit der nächstfolgenden Dreieckszahl ver-einigt gibt eine Quadratzahl, und wirklich ist —-f- — ”"t--
= w 2 . Hier wagen wir nun, gestützt auf alle diese einander ähnlichenVerfahren, eine unmittelbar nicht auf Ueberlieferung sich stützende
') Plutarch , Platonicae Quaestion. V, 2, 4. 2 ) Lucian BCcov nqüaii, 4.
Vergl. Allman, Greek Geometry from Thaies to Euclid pag. 185, r.
3 ) Aristoteles , Metaphys. XIV, 4. 4 ) Bl oygacpoi, vitarum scriptores Graecimmores edit. Westermann. Braunschwjig, 1845, pag. 446. 5 ) Theon
Smyrnaeus (ed. Hiller) 32. °) Nicomachus, Eisagog. arithm. II, 12 (ed.IIoche), pag. 96.