144

Kapitel VII.

Vermuthung.') Wir nehmen an, es sei auch die Addition von jezwei auf einander folgenden Quadratzahlen vorgenommen worden, umwie in den vorher erwähnten Beispielen einmal zuzusehen, ob dabeietwas Bemerkenswerthes sich enthülle. In der That fand sich einhöchst auffallendes Ergebniss: Die Quadratzahlen 9 und IGlieferten als Summe die nächste Quadratzahl 25, und nurbei ihnen zeigte sich diese Erscheinung. Dem heutigen Mathematikerist Solches freilich nicht auffallend. Wir erkennen sofort, dass dieGleichung (x — l) 2 + x 2 = {pc + l) 2 nur die Wurzeln # = 4 und x = 0besitzt, dass also nur 3 2 + 4 2 — 5 2 auftreten kann, wenn man (— l) 2-(- 0 2 = l 2 oder anders geschrieben 0 —1 == 1 nicht beachten will.Aber der Grieche jener alten Zeit konnte diese Ueberlegung nicht an-stellen, konnte, wenn sie ihm möglich gewesen wäre, die zweiteGleichung nicht denken. Wir kommen auf den ZahlenbegrifF derGriechen noch zurück. Gegenwärtig wissen wir nur, dass die Null, fürwelche sie kein Zeichen hatten, ihnen auch keine Zahl war. Wirsind darüber auf’s Deutlichste durch einen der schon genanntenArithmetiker unterrichtet. Nikomachus sagt uns, jede Zahl sei diehalbe Summe ihrer Nachbarzahlen und überhaupt die halbe Summeder zu beiden Seiten gleich weit von ihr abstehenden Zahlen; nur dieEinheit bilde eine Ausnahme, weil sie keine zwei Nachbarzahlen be-sitze; sie sei darum die Hälfte der einen unmittelbar benachbartenZahl. 2 )

So mussten die Zahlen 9, 16, 25 und mit ihnen die Zahlen 3,4, 5, deren Quadrate sie waren, welche ihre Ordnungszahlen in derReihe der Quadratzahlen bildeten, der Aufmerksamkeit empfohlensein, um so dringender empfohlen sein, wenn dieselben Zahlenschon anderweitig als mit merkwürdigen Eigenschaften versehenbekannt waren. Dass dem so war, darüber müssen wir uns jetztzu vergewissern suchen.

Kapitel VII..

Pythagoras und die Pytliagoriier. Geometrie.

Wir sind an dem Punkte angelangt, wo wir die nur im Bildegeometrische Arithmetik der Pythagoräer mit ihrer eigentlichenGeometrie in Verbindung treten sehen. Wir haben demgemäss auchauf diesem Gebiete abzusuchen, was unmittelbare oder mitttelbareUeberlieferung dem Pythagoras und seiner Schule zuweist.

Zunächst können wir eine ganze Gruppe von geometrischenKenntnissen zusammenfassen unter dem gemeinsamen Namen der

') Math. Beitr. Kulturl. 105—1Ö7. J ) Nicomachus , Eisagog. arithm. 1,8(ed. Hoche), pag. 14.