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Anlegung der Flächen. „Alterthümlich, so sagen die Schülerdes Eudemus, und Erfindungen der pythagoräischen Muse sind dieseSätze, die Anlegung der Flächen, ihr Ueberschiessen, ihr Zurück-bleiben,“ 7j re Ttagaßoh) r cöv ftagiav xcdi rj vrtegßoli] xcd t) ekXeiipig-')So lautet der erläuternde Bericht des Froklus zu der euklidischenAufgabe an einer gegebenen Graden unter gegebenem Winkel einParallelogramm zu entwerfen, welches einem gegebenen Ureieckgleich sei. Desselben Wortes ekkeineiv bei Anlegung von Flächenbedient sich Platon in seinem Menon, 2 ) und Plutarch lässt an einerStelle das Anlegen von Flächen, jtagctßaAA.ei,v rov %agi'ov, von Pytha-goras selbst herstammen, 3 ) während er au einer anderen Stelle sichfolgendermassen ausdrückt: „Eines der geometrischsten Theoreme odervielmehr Probleme ist das, zu zwei gegebenen Figuren eine dritte anzu-legen— nagaßakkeiv —, die der einen gleich und der anderen ähnlich ist.Pythagoras soll, als er die Lösung gefunden, ein Opfer gebrachthaben. Und wirklich ist es auch feiner und wissenschaftlicher alsdas, dass das Quadrat der Hypotenuse denen der beiden Kathetengleich ist.“ 4 ) Ueber die genauere Bedeutung der drei Wörter Parabel,Ellipse, Hyperbel bei Flächenanlegungen werden wir bei Be-sprechung der euklidischen Geometrie im 13. Kapitel zu reden haben.Fiir’s Erste genügt die allgemeine aus den angeführten Stellen leichtzu schöpfende Ueberzeugung, dass es um die Zeichnung von Figurengegebener Art und gegebener Grösse sich handelt. Solche Zeichnungist aber unmöglich, wofern man nicht mit den Haupteigenschaften derParallellinien und ihrer Transversalen, mit den hauptsächlichenWinkelsätzen der Planimetrie vertraut ist, wofern man nicht dieAuffindung von Flächeninhalten, deren Abhängigkeit von den diebetreffende Figur bildenden Seiten in richtiger Weise kennt.
In der ersteren Beziehung sind wir wieder in der günstigenLage, unsere Behauptung bestätigen zu können. Die Pythagoräerverwandten die Parallellinien zum Beweise des Satzesvon der Winkelsumme des Dreiecks. Wir sahen (S. 120),dass die thaletische Zeit, vielleicht Thaies selbst, den Satz von derWinkelsumme in dreifacher Abstufung an dem gleichseitigen, andem gleichschenkligen, an dem unregelmässigen Dreiecke behandelte.Eudemus lässt durch die Pythagoräer den Satz für jedes beliebigeDreieck so bewiesen werden, dass durch die Spitze des Dreiecks dieParallele zur Grundlinie gezogen und daraus die Gleichheit der Winkel ander Grundlinie mit ihren an jener Parallelen hervortretenden Wechsel-winkeln gefolgert wurde. Einer jener Wechselwinkel wurde sodann
') Proklus (ed. Prie dlein) 419. -) Platon, Menon pag.87. 3 J Plutareli,Non posse suavitcr vivi sccunäum Npicur. cap. 11. ') Plutarch , Con-
virium VIII cap. 4.
Cantok, Geschichte der Mathem. I.
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