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Kapitel VII
das gleichseitige Dreieck
(Figur 23)
Q
zerlegt
m
2 oder 6 Dreiecke der
Fig. 23.
h e r u moder 3
zweiten A rt
werden kann. Uebereinstiinineiid damit, abersicherlich einer anderen Quelle als demplatonischen Timiius, über dessen An-gaben er hinausgeht, folgend sagtProklus, es sei ein pythagoreischerLehrsatz, dass die Ebene um einendurch 6 gleichseitige Dreiecke, 4 Q u a -regelmässige Sechsecke vollständig er-dass nur diese Figurengattungen zur gänzlichen
P unktd r a t e'
füllt werde, soZerlegung einer Ebene in lauter identische Stücke Benutzung finden. 1 )Wir wollen daran anknüpfend nur erinnern, dass wir schon (S. 121)die Kenntniss solcher um einen Punkt lierumliegenden 6 gleichseitigenDreiecke wahrscheinlich zu machen suchen mussten, und dass folglichrückwärts die Angabe des Proklus unsere dortigen Behauptungen zustärken im Stande ist.
Wie verhält es sich aber gegenüber der Zerfällung der Grenz-flächen der vier ersten Körper mit der Grenzfläche des fünften undletzten, mit dem regelmässigen Fünfecke? Das Fünfeck ist,wie leicht ersichtlich, mittels der beiden rechtwinkligen Dreieckchen,die wir nach der Vorschrift des Timäus für die Herstellung vonDreieck und Viereck benutzten, nicht zusammenzusetzen, eine Zer-legung in eben solche kann mithin nie gelungen sein. Wohl aberdürfen wir erwarten, Spuren verfehlter Versuche anzutreffeu, unddiese fehlen nicht. Plutarch hat an zwei Stellen von der Zerlegungder das Dodekaeder begrenzenden Fläche in 30 Elementardreieckegesprochen, hat das einemal hervorgehoben, dass somit alle 12 Flächen360 Dreieckchen liefern, gleich an Zahl mit den Zeichen des Thier-kreises, 2 ) hat das audremal bemerkt, es solle, wie man sage, dasElementardreieckchen des Dodekaeders von dem des Tetraeders, Octae-ders, Ikosaeders verschieden sein. 3 ) Ein anderer Schriftsteller desII. S., Alkinous, hat in seiner Einleitung zum Studium des Platongleichfalls von den 360 Elementen gesprochen, welche erzeugtwerden, indem jedes Fünfeck in 5 gleichseitige Dreiecke, jedes vondiesen in 6 ungleichseitige zerfalle. 1 ) Nimmt man nun diese Zer-/! legung wirklich vor (Figur 24), so tritt/ aus dem Gewirre der Linien am deutlichsten\ das Sterufiiufeck heraus, welches demnachfür sich schon ein Zeugniss der versuchtenZerlegung des Fünfecks in Elementardrei->'ig' 24- *'i g . 25 . ec k e ablegt. Das Sternfünfeck (Figur 25)