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Kapitel VII.

chinesischer Schriftsteller hat nämlich gesagt : „Zerlegt man einenrechten Winkel in seine Bestandteile, so ist eine die Endpunkteseiner Schenkel verbindende Linie 5, wenn die Grundlinie 3 unddie Höhe 4 ist.“') Die geometrische und die arithmetische Wahrheitvereinigten sich nun in dem Bewusstsein des Pythagoras zu einemgemeinschaftlichen Satze. Der Wunsch lag nahe zu prüfen, ob auchbei anderen rechtwinkligen Dreiecken die Maasse der Seiten zu Quadrat-zalilen erhöht das gleiche Verhalten bieten. Die einfachste Voraus-setzung war die des gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks, woHöhe und Grundlinie gleich der Längeneinheit waren. Die Hypote-nuse wurde gemessen. Sie war grösser als eine, kleiner als zweiLängeneinheiten. Die mannigfaltigsten Versuche mögen daraufangestellt,andere und andere Zahlenwerthe für die gleichen Katheten eingesetztworden sein, um eine Zahl für die Hypotenuse zu erhalten. Vergebens.Man erhielt wahrscheinlich Zahlen, die dem gesuchten Maasse derHyjiotenuse nahe kamen, Näherungswerthe von j/2 würden wirheute sagen, aber es war noch ein Riesenschritt von (1er Frucht-losigkeit der allgestellten Versuche auf die aller Versuche überhauptzu schliessen, und diesen Schritt vollzog Pythagoras .

Er fand, dass die Hypotenuse des gleichschenkligen rechtwinkligenDreiecks mit messbaren Katheten selbst unmessbar sei, dass sie durchkeine Zahl benenn bar, durch keine aussprechbar sei 2 ); er ent-deckte das Irrationale, worauf das alte Mathematikerverzeichnissein so sehr "berechtigtes Gewicht legt. Er entdeckte es grade an derHyi Hitenuse des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks, wie ausmehr als nur einem Umstande wahrscheinlich gemacht werden kann.

So erzählt uns Platon, der Pythagoräer Tlieodorus von Ky reue,der ihn selbst in der Mathematik unterrichtet hatte, habe bewiesen,dass die Quadratwurzel aus 3, aus 5 und anderen Zahlen bis zu 17irrational sei. 3 ) Von der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 istdabei keine Rede; diese muss also vorher bekannt gewesen sein.Aristoteles weiss dagegen an vielen Stellen von der Irrationali-tät der Diagonale des Quadrates von der Seite 1 zu reden, undsagt einmal gradezu, der Grund dieser Irrationalität liege darin,weil sonst Grades und Ungrades gleich sein müsste. 1 ) Den Sinndieser Worte erläutert aber Euklid . Er gibt nämlich folgendenBeweis, den wir nur so weit abgeäudert haben, dass wir Euklids Worte in moderne Zeichensprache umsetzten. 5 ) Es sei AT zu AB

') Vergl. Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen in Crelle’s Journal ,Bd. 52. 2 ) pijrov lind aloyov sind die griechischen Namen für Rationalzahl

und Irrationalzahl; aloyov heisst sowohl ohne Verhältnis« als ohne Wort d. li.nicht aussprechbar. 3 ) Platon, Theiitet 147, D. 4 ) Aristoteles , Analyticaprot. I, 23, 11. ") Euklid X, 117.