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(Figur 26) commensurabel und verhalte sich in akleinsten Zahlen wie « zu ß\ folglich muss wegenA ["> A B auch a > ß und sicherlich >1 sein.
Weiter folgt Ar 2 : AB- = a 2 :ß 2 und wegen AF 2= 2 AB 2 auch n 2 =2ß 2 , folglich a 2 und mit dieserZahl zugleich auch « eine grade Zahl. Die zu a Jtheilerfremde ß muss daher ungrade sein. Diegrade « sei = 2y, so folgt a 2 = 4 y 2 . Es war cc 2 = 2ß 2 , mit-hin ist 2ß 2 = £y 2 , ß 2 = 2y 2 grad und auch ß grad, was mit demeben bewiesenen Gegentheil einen Widerspruch bildet, der zurAufhebung der Annahme führt, als könne die Diagonale mit derQuadratseite in einem rationalen Zahlenverhältnisse stehen. Mausieht, das muss der Beweis gewesen sein, an welchen Aristoteles bei seiner Aeusserung dachte. Es ist also ein Beweis, dessen Alter-thum über Aristoteles hiuaufreicht, und der, nach der kurzen Weise,in welcher dieser ihn andeutet, zu schliessen, den Lesern des Aristoteleszur Genüge bekannt sein musste. Wir gehen desshalb vielleichtnicht zu weit, wenn wir grade diesen Beweis als einen hergebrachtenausehen, als denjenigen, der in der alten pythagoriiisclieu Schulegeführt wurde, mag ihn Pythagoras selbst oder einer seiner un-mittelbaren Schüler und Nachfolger ersonnen haben.
W ar in der Tliat die Diagonale des Quadrates als irrational, dieDiagonale des Rechteckes mit den um eine Längeneinheit verschiedenenSeiten 3- und 4 als rational, nämlich mit der Länge 5, bekannt, dannwar es möglich, dass man auch Quadrat und lleteromekie als diejenigenGegensätze in die pythagoräische Kategorientafel, welche uns durchAristoteles bekannt geworden ist, aufnahm, die den sonst dort fehlendenGegensatz des Rationalen und Irrationalen ersetzen sollten. 1 ) Wirhaben eine solche von der unsrigen zunächst abweichende Erklärungangekündigt (S. 136) und nicht ganz von der Hand gewiesen. Alleinsie vollkommen uns anzueignen, auch in der Verbindung mit unserereigenen Vermuthung, die wir dort als notlnvendig betonten, vermögenwir trotz eines unterstützenden Grundes, auf welchen wir im 11. Kapitelzu reden kommen, doch nicht. Es könnte nämlich grade das Fehlendes Gegensatzes des Rationalen und des Irrationalen in der Kategorien-tafel als bezeichnend betrachtet werden müssen.
Nach einem alten Scholion zum X. Buche der euklidischen Ele-mente, welches man in neuerer Zeit dem l’roklus zuzuschreibenpflegt, 2 ) dürfte diese Annahme eine nicht ungerechtfertigte sein.„Man sagt, dass derjenige, welcher zuerst die Betrachtung des Irra-
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