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wesen sein. Er dürfte seiner Alterthiimlichkeit entsprechend vieleUnterfiille unterschieden haben und grade vermöge dieser AVeitläufig-keit aufs Gründlichste beseitigt worden sein, wie wir daraus schliessendürfen, dass Proklus auch mit keiner Silbe des Ganges des voreukli-dischen Beweises gedenkt. Waren Unterfälle unterschieden, so ist dieWahrscheinlichkeit vorhanden, die Beweisführung sei von dem gleich-schenkligen rechtwinkligen Dreiecke ausgegangen 1 ) und habe dieZerlegung des Quadrates durch seine Diagonalen (Figur 27) zur Grund-lage gehabt, 2 ) wenigstens hat sich in PlatonsMenon dieser Beweis des Sonderfalles erhalten.
Wie der weitere Fortschritt zum Beweise des all-gemeinen Satzes vollzogen wurde, darüber istman in keiner Art unterrichtet. Die verschiedenenWiederherstellungsversuche, so geistreich manchederselben sind, schweben alle so ziemlich in derLuft. 3 ) Fi *- 27 '
Die arithmetische Aufgabe Zahlen zu finden, welche alsSeiten eines rechtwinkligen Dreiecks gezeichnet werdenkönnen, löste Pythagoras gleichfalls, und hier sind wir in dergünstigen Lage, dass Proklus uns seine Auflösungsmethode aufbe-walirt hat. 1 ) Er sei von irgend einer ungraden Zahl 2 ci 1 aus-gegangen, welche er als kleinere Kathete betrachtete. Die Jliilftedes um 1 verminderten Quadrates derselben gab die grössere Kathete2« 2 -(- 2a, diese wieder um 1 vermehrt die Hypotenuse 2a 2 2a 1.Wie kam Pythagoras zu dieser Auflösung? Ein möglicher Weg istfolgender, welchen wir nur wenig gegen die Art, w'ie er zuerst ver-muthungsweise geschildert worden ist, 5 ) verändert der Prüfung unter-breiten. Ist a 1 = b 2 -f- c 2 , so ist e 2 = a- — b- = (a + b) (a — b).Die Aufgabe der erstgeschriebenen Gleichung zu genügen lässt sichalso erfüllen, wenn nur a -f- b und a — b beide grad oder beideungrad und zudem solche Zahlen sind, welche mit einander verviel-facht eine Quadratzahl liefern. Solche Zahlen kannte höchst wahr-scheinlich bereits die vorplatonische Zeit, da sie unter dem Namenähnlicher Zahlen bei Theon von Smyrna erklärt sind. 0 ) Dieandere von uns hervorgehobene Bedingung beruht darauf, dass aund b ganzzahlig zu erhalten nur dann möglich ist, wenn Summaund Differenz von a -f- b und a — b beide grad sind. Der einfachsteFall ähnlicher Zahlen ist nun selbstverständlich der der Einheit und einerQuadratzahl c 2 , und weil 1 ungrad ist, muss hier auch c 2 und somit
') Hankel S. 98. 2 ) All man 1. c. S. 180. 3 ) Vergl. Camerer’s Knklidaus-
gabe I, 444 mit Iii-etsclineider 82. 4 ) Proklus (cd. Friedlein) 428. 5 ) Rüth,
Geschichte der abendländischen Philosophie II, 527. n ) Theon Smyrnaens(ed. Ilill er) 36.