Mathem. ausserhalb d. pythagor. Schule. Hippokrates von Chios. 175

Viertelkreis gleich dem Halbkreise über A F.den Kreisabschnitt weg, welchen die Sehne AI

schrieb über dessen Katheten als Durchmesser neue Halbkreise. Nunist AB'- = AF 2 -)- F11- und wegen der Proportionalität von Kreisen,beziehungsweise von Halbkreisen mit den Quadraten ihrer Durchmesserwird auch der Halbkreis über AB der Summe der Halbkreise überA r und rB gleich sein, oder dem Doppelten eines dieser kleinerenHalbkreise. Der Halbkreis über AB ist selbst auch das Doppeltedes Viertelkreises, welcher durch ATA zu benennen ist, mithin dieser

Nimmt man von beidenmit dem Bogen ATdes zuerst gezeichneten Halbkreises bildet, so bleibt das gradlinigerechtwinklige in ein Quadrat verwandelbare Dreieck ATA gleich derdurch zwei Bögen zwischen A und Feingeschlossenen halbmondförmigenFläche, und diese Figur, welche bei Hippokrates utjviGxog Möndchen(lateinisch hmuln) heisst, ist somit thatsächlich quadrirt. Hippokratesgeht nun weiter, und zwar auf dem Wege, dass er die Quadratureines Kreises in Abhängigkeit von der einer halbmondartigen Figurbringt. Er zeichnet (Figur 30) in einen Halbkreis ein Paralleltrapezein, dessen grössere Seite der Durchmesserselbst ist, während jede der drei anderenSeiten eine Seite des dem ganzen Kreiseeinschreibbaren regelmässigen Sechsecks,dem Halbmesser folglich-gleich ist. Wirdüber jeder der kleineren Trapezseitenein Halbkreis gezeichnet, so muss erein Viertel des ursprünglichen Halbkreises sein, oder die drei Halb-kreise zusammen von dem ursprünglichen Halbkreise abgezogenlassen als Differenz einen kleinen Halbkreis von der Grösseder eben erhaltenen, d. h. einen solchen, dem der Halbmesserdes ursprünglichen Halbkreises als Durchmesser dient. DieselbeDifferenz lasst nun, indem vom Subtrahenden und Minuenden gleicheKreisabschnittchen weggelassen werden, sich in die Form einer Differenzzwischen dem gezeichneten Trapeze und dem Dreifachen eines vonKreisbögen gebildeten Mondes bringen. Wäre daher letzterer, derfreilich von dem vorher untersuchten Möndchen wesentlich verschiedenist, quadrirbar, so wäre der kleine Halbkreis selbst quadrirt. Aberdiese Eigenschaft findet nicht statt. Das eben benutzte Möndchenist, wie Hippokrates einsieht, nicht unmittelbar quadrirbar, und nungeht sein Bestreben dahin, andere quadrirbare Möndchen zu entdecken,um durch Zurückführung der Kreisquadratur auf diese neuen Möndchendie Aufgabe, die er sich gestellt hat, zu lösen. Wir können nichtausführlich bei den Versuchen verweilen, die Hippokrates in dieserRichtung noch anstellt. Nur so viel sei bemerkt, dass er dabei wie-der von dem Kreise eingezeichneten Paralleltrapezen ausgeht, undzwar von solchen, welche je 3 unter einander gleiche Seiten besitzen

Fig. 30.

H-ik * U