Platon.

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führung auf das Unmögliche, welche nicht das zu Findende selbst be-weist, sondern das Gegentheil desselben bestreitet und so die Wahr-heit durch Uebereinstimmung findet. *) Endlich gehören hierher diebeiden bei Euklid erhaltenen Definitionen: Analysis ist die Annahmedes Gesuchten als zugestanden durch Folgerungen bis zu einem alswahr Zugestandenen. Synthesis ist die Annahme des Zugestandenendurch Folgerungen bis zu dem Erschlossen und Wahrnehmen desGesuchten'') und die dem Sinne nach damit übereinstimmenden imWortlaute viel ausführlicheren Erörterungen des Pappus. 3 )

Die Sache verhält sich folgeudermassen. 4 ) Soll die Wahrheiteines Satzes 1) bewiesen oder widerlegt werden — beides kann manverlangen — so sagt der Analytiker: Wenn 1) stattfindet ist C wahr;wenn C stattfindet ist J! wahr; wenn II stattfindet ist A wahr; ausJ) folgt also endlich A ; nun ist A wahr oder nicht wahr, also istauch J) wahr oder ist es nicht. Der Synthetiker dagegen beginnt mitder Behauptung der Wahrheit von A , welche ihm auf irgend eineWeise bekannt ist. Daran knüpft er die Folgerung, es werde JJstatttinden, folglich sei auch C wahr, und folglich sei 1) wahr - odermöglicherweise ein Satz, der das Gegentheil von JJ bezeichnet, undden man desshalb Nicht--/! zu nennen pllegt. Es ist einleuchtend,dass der synthetische Beweis unter allen Umständen richtigist, der analytische aber nicht. Zur Wichtigkeit desselben ge-hört nämlich, dass die in dem analytischen Beweise aufgestelltengleichzeitigen Wahrheiten auch in umgekehrter Reihenfolge sich gegen-seitig bedingen, mathematisch ausgedrückt, dass man lauter umkehr-bare Sätze aussprach. Von der NothWendigkeit diese Umkehrbarkeitselbst zu erweisen ist man nur in einem Falle befreit, wenn nämlichdas aus 1) geschlossene A nicht wahr ist. Dann freilich kann 1) nuntiud nimmermehr stattfinden. Das heisst: die Beweisform der Zurück-führung auf das Unmögliche ist eine immer gestattete Unterart desanalytischen Beweises; der direkte analytische Beweis dagegen er-fordert stets eine Ergänzung, welche rückwärts gehend die Sätzesynthetisch aus einander ableitet, deren Behauptungen die voraus-gehende analytische Methode kennen lehrte. Aus diesen Betrach-tungen gehen nun mehrere Folgerungen hervor.

Erstlich die, dass die analytische Methode, vermöge der Notli-wendigkeit ihr, falls sie direkt zu Werke ging, eine Synthese folgen

') Proklus (cd. Friedlein) pag. 211, lin. 18—pag. 212, lin 4. 2 ) EuklidXIII, 1. Anmerkung. ■’) Pappus, VII Praefatio (ed. Hultsc h) pag. 6S4 flgg.4 ) Hübsche Entwicklungen über die analytische Methode der Alten bei Ofter-dinger, Beiträge zur Geschichte der griechischen Mathematik. Ulm , 1800.Duhamel, Des methodes dans les Sciences de raisonnement. Paris , 1865—18G6.Besonders T. I, chap. 10 De Vanulyse et de I<i Synthese cliez les aneiens.Hankel 1 *J7—-150.