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Kapitel X.

zu lassen, weniger für die Beweisführung von Sätzen, dagegen vor-trefflich für die Auflösung von Aufgaben sicli eignet, bei welchendie analytisch gefundene Auflösung meistens die notlnvendige Voraus-setzung zur Entdeckung ihres synthetischen Beweises bildet, und inder That spielt die Analysis ihre Hauptrolle in dem sogen, auf-gelösten Orte, d. h. bei Aufgaben, die einen geometrischen Ortoder eine Aufeinanderfolge von Punkten betreffen, deren jeder sicheiner gewissen Eigenschaft erfreut, welche ihrerseits keinem anderenPunkte ausserhalb des Ortes zukonnnt.

Zweitens' scheint die indirekte Methode der Zurückführung aufPdas Unmögliche, die sogen, apagogische Beweisführung 1 ) wegenihrer unbedingten Giltigkeit vorzuziehen. In der That haben dieAlten sich derselben wenn auch nicht gerade überwiegend doch vielhäufiger als die modernen Geometer bedient. Namentlich bei denSätzen, in welchen eine sogen. Exhaustion vorgenommen wird, woalso der Grenzbegriff das unmittelbare Erreichen des Zieles ausschliesstund nur die synthetische Hypothese des Unendlichkleinen als Ersatzzu dienen vermag, wird man bei griechischen Schriftstellern stets Be-weisen aus dem Gegentheil begegnen. Wir haben zugleich ange-deutet, dass in neuerer Zeit die indirekten Beweise nicht beliebt sind.Der Grund liegt darin, dass bei aller zwingenden Strenge für denVerstand der indirekte Beweis der Einbildungskraft keine vollständigeBefriedigung zu gewähren pflegt. Ungezügelt umherschweifend suchtsie noch immer dritte Fälle ausfindig zu machen, welche neben derExistenz von Nicht -D eine Coexistenz von 1) zulassen, und nur schwergibt sie sich gefangen, dass wirklich die Eintheilungstheile des Ein-theilungsganzen vollständig erschöpft wurden, dass wirklich zwei sichausschliessende Thatsachen vorliegen, die nicht gleichzeitig gesetztwerden können.

Drittens liegt, wie wir gesehen haben, jedem Beweise, werde eranalytisch oder synthetisch, direkt oder indirekt geführt, die Wahrheiteines gewissen Satzes A zu Grunde, deren man sich versichert haltenmuss. In vielen Fällen wird dieses A Ergebniss früherer Lehrsätzeund gehörigen Ortes streng erwiesen sein. Allein immer ist diesesnicht der Fall und kann es nicht der Fall sein, da eine unendlicheKette von Rückschlüssen nicht denkbar ist. Irgend einmal muss manstehen bleiben und eine Grundwahrheit als von selbst einleuchtendoder erfährungsmässig gegeben zum Ausgangspunkte der Beweisführungannelmien. Wer also wie Platon auf das W r esen der Beweisführungselbst einging, musste auf dem Wege dieser Untersuchung das tliun,was wir oben von Platon berichtet haben. Er musste Definitionen

') ttnceycoy/] f i’,' uSvvctrov, lateinisch i'cdw'tio ad absurdum oder demonstratioe contrario.