Platon.

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geben, welche der unendlichen Spaltung der Begriffe zu Gunsten ein- (facher Begriffe ein Ziel setzten; er musste auch Axiome, Grund-sätze und Annahmen, anerkennen, welche man nicht weiter beweist,sei es dass sie als von unmittelbarer Gewissheit nicht mehr bewiesenzu werden brauchen, oder dass sie nicht bewiesen werden können.

Wir kehren von dieser das Wesen antiker geometrischer Beweis-führung berührender Auseinandersetzung, zu welcher die mathe-matischen Kapitel im Mellon uns fast mehr Gelegenheit als Veran-lassung boten zu einer anderen Schrift Platons und einer nicht minderübelberüchtigten Stelle derselben zurück. Wir meinen den Anfangdes VIII. Buches vom Staate. 1 ) Auch diese Stelle hat eine ganzeLiteratur hervorgerufen,'-) welche jedoch unserem Gefühle nach nochnicht vermochte die Schwierigkeiten der sehr dunkeln Anspielungen,in welchen Platon sich hier gelallt, endgültig zu lösen. Gehen dochdie Ansichten so weit auseinander, dass nicht bloss über den Sinnder sogen, platonischen Zald, sondern über ihre Grösse selbst einEinverständniss nicht herrscht. Nur ein wie beiläufig eingeschalteterkleiner Satz dieser Stelle ist in seiner Bedeutung sicher erkannt undgibt uns Anlass zu einer, wie wir glauben, geschichtlich wichtigenBemerkung. Es ist von der Länge der Diagonale des Quadrates überder Seite 5 die Bede, welche rational ausfalle wenn 1 fehle, irrationalwenn 2 fehlen. 3 ) Man versteht das allgemein so, dass jene Diagonaleoder /f)0 in den rationalen Werth 7 übergehe, wenn die Zahl 50um 1 verringert werde, dagegen irrational //4S bleibe, wenn man 2von den 50 abziehe. Wir haben, wo von der Entdeckung des Ir-rationalen durch Pythagoras (S. 154) die Bede war, hervorgehoben^man werde wohl Versuche angestellt haben die Diagonale einesQuadrates dadurch aussprechbar, also rational, zu machen, dass manandere und andere Seitenlängen wählte, man werde so zwar daswirklich angestrebte Ziel natürlich nicht erreicht, aber doch Näherungs-werthe von j/2 gefunden haben. Die eben angeführte platonischeStelle bringt uns diesen Gegenstand in’s Gedäclitniss zurück. Platonhat, wie wir sehen, unzweifelhaft gewusst, dass j/50 oder 5 ]/2 nurwenig von 7 sich unterscheidet. Ist er so weit gegangen in derPraxis des Rechnens }/2 annähernd gleich 7 / ä zu setzen? Dar-über fehlt uns die Sicherheit, aber das steht fest, dass jenes Bewusst-sein bei Platonikern und deren Schülern sich fortwährend erhaltenhat. Proklus sagt uns ausdrücklich, es gebe keine Quadratzahl, welche

') Platon, Staat Ö4G B, C. 2 ) Vergl. Th. Henri Martin, le nombre nuptialet le nombre parfait de Viaton im XIII. Bande der Bevue arche'oloyique unditothlauf S. 29 flgg. Bei Martin insbesondere finden sich zahlreiche Verweisungenauf ältere Abhandlungen. 3 ) (xno öiayerquiv yrjzäv t: sjinüöos, äsofirvtav tvögfXBOTCür, di ävtiv.