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Kapitel X.

das Doppelte einer Quadratzahl anders als nahezu sei; so sei dasQuadrat von 7 das Doppelte des Quadrates von 5, an welchem nur1 fehle’). Es wird uns später gelingen, den Näheruugswerth j/2 = 7 /5noch bestimmter nachzuweisen und damit die Wahrscheinlichkeit zuerhöhen, dass die Nutzbarmachung jener bei Platon nachgewiesenenKenntniss in der That stattgefunden habe. Dass nämlich Platon sichmit rationalen und mit irrationalen Quadratwurzeln überhaupt be-schäftigt hat, geht aus einer anderen Nachricht hervor, von der jetztdie Hede sein soll.

lleron von Alexandria 2 ) und ebenso auch Proklus 3 ) theilen unseine Methode zur Auffindung rationaler rechtwinkligerDreiecke mit, welche sie ausdrücklich als Erfindung des Platonbezeichnen, und wenn auch Poothius vou dieser Angabe abweichendeinen Architas als Erfinder nennt 1 ), so tragen wir doch kein Be-denken dem älteren griechischen Berichterstatter den Vorzug der Glaub-würdigkeit vor dem jüngeren römischen Schriftsteller zu gewähren.Schon Pythagoras fand, wie wir uns erinnern (S. 157), rationalerechtwinklige Dreiecke, indem er wohl davon ausging den Unter-schied zwischen der Hypotenuse a und der grösseren Kathete b derEinheit gleich zu setzen, wodurch er genöthigt war die Summe derHypotenuse und derselben Kathete in Form einer sonst beliebigenungeraden Quadratzahl zu wählen. War solches in der That derWeg, auf welchem Pythagoras zu seinen Werthen gelangte, so mussteein nächster Versuch jene Differenz n — b — 2 setzen, und die ihrähnliche Flächenzahl a -f- b musste dann das Doppelte einer Quadrat-zahl oder 2« 2 sein, beziehungsweise die Hälfte einer geraden Quadrat-zahl . Dann wurde von selbst c = 2«, b = « 2 —1, « = « 2 -f-l,

und genau so verfuhr Platon . Proklus sagt uns mit einer Deutlich-keit, die Nichts zu wünschen übrig lässt: Platons Methode geht vonder geraden Zahl aus; man nimmt nämlich eine gerade Zahl an undsetzt sie gleich einer der beiden Katheten; wird diese halbirt, dieHälfte quadrirt und zu diesem Quadrate die Einheit addirt, so ergibtsich die Hypotenuse; wird aber die Einheit vom Quadrate subtrahirt,so erhält man die andere Kathete.

So dienen beide Methoden, die des Pythagoras und die desPlaton, einander zur Ergänzung und rechtfertigen gegenseitig dieVermuthungen, welche wir darüber ausspraehen, wie man dieselbengefunden haben mag. Platon erscheint uns dabei nicht so wohl erfindungs-reich, als dass er vorherbetretene Wege umsichtig zu gehen wusste.

’) Prok las (eil. Frie dl ein) pag. 427, lin. 21—24. *) Heron (eil. Hultsch)(iemnetria pag. 57. ’) Proklus (eil. Frieillein) pag. 428. ') Boethins (ed.

Fried lein) Genmetria pag. 408.