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Kapitel X.

cylimler aufgefuiiden haben.“ Esseien (Figur 35) AA = b undAB = a die beiden Geraden,zwischen welche zwei mittlere Pro-11 portionalen einzuschalten sind. DieGrössere AA wird als Durchmessereines Halbkreises benutzt, in wel- 'eben die Kleinere AB als Sehne ein-gezeiclmetwird. Aber auch senkrechtzu diesem ersten Halbkreise wird überAA ein zweiter Halbkreis errichtet, derin A befestigt über die Ebene ABAweggeschoben werden kann. Er bildetdabei auf dem über dem Halbkreise ABA errichteten Ilalbcylinder einekrumme Linie. Andererseits ist das Dreieck A A Dgegeben durch die AA ,die AB und die Berührungslinie AII an den Halbkreis in A. DiesesDreieck liefert um AA als Axe in Drehung versetzt eine Kegelober-fläche, welche gleichfalls den Ilalbcylinder und die vorher auf ihmerzeugte Curve schneidet, letztere in einem Punkte K, der als demHalbcylinder augehörend senkrecht über einem Punkte 1 des Halb-kreisbogens ABA liegen muss. Während All die Kegeloberflächebeschreibt, beschreibt endlich auch das Stück AB dieser Geraden eineFläche gleicher Art, beziehungsweise der Punkt B einen HalbkreisBMZ , der senkrecht zur Horizontalebene AB AZ steht. Da zu dieserEbene auch AKA' senkrecht steht, so ist zu ihr auch M& senk-recht, die Durchschnittsgerade der beiden genannten Ebenen, be-ziehungsweise A/fc) J. BZ als Durchschnittsgeraden der BMZ. mit derABA Z. Daraus folgt mit Rücksicht auf die Eigenschaft von BMZ.als Halbkreis und von BZ. als dessen Durchmesser, dass M&- =B& X 0Z. Aber B& X ft)Z = A& X&I, weil BZ und AI zweiin ft) sich schneidende Sehnen desselben Kreises sind. Also M & 2 =A&X&I, also der Winkel AMI ein Rechter, d. h. eben so grosswie AKA', welcher W’inkel im Halbkreise ist, und folglich MIparallel zu KA\ Damit ist die Aehnlichkeit des Dreiecks A’AKmit 1AM, aber auch mit KAI bewiesen, und damit die ProportionA M: AI = A1: A K = A K : A' A. Setzt man endlich AM — AB = a,A A = A A = b, Al = x, AK = y, so ist wieder a : x = x: y = y :b,wie es verlangt wurde. Aus diesem Verfahren geht, was wir zu be-merken nicht versäumen wollen, die Kenntniss mehrer wichtiger Sätzevon Seiten des Erfinders hervor. Nicht bloss die beiden plauimetri-schen Lehrsätze, dass die Berührungslinie an den Kreis senkrechtzum Durchmesser steht und dass Kreissehnen einander in umgekehrtproportionalen Stücken schneiden, mussten ihm geläufig sein, auchvon der durch Platon beklagten allgemeinen Unwissenheit auf stereo-

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